Ecriture decimale positionnelle

Numérations selon les cultures
Numération arabo-indienne
arabe khmer indienne	mongole thaï
Numérations à l’origine chinoise
chinoise japonaise	à bâtons suzhou
Numérations alphabétiques
arménienne cyrillique d'Âryabhata éthiopienne	hébraïque grecque tchouvache
Autres systèmes
attique brahmi champs d'urnes colombienne égyptienne étrusque	forestière inuite maya mésopotamienne romaine
Notations positionnelles par base
Décimal (10)
2, 4, 8, 16, 32, 64
1, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60, plus…

L'écriture décimale positionnelle d'un nombre est sa représentation dans un système de numération de base 10 employant une notation positionnelle. On appelle parfois aussi une notation répondant à cette définition « système de numération indo-arabe », car ce système s'est développé en Inde et parvenu en Europe par l'intermédiaire des Arabes. Les symboles (ou glyphes) utilisés peuvent être divers. Cependant, la plupart sont des chiffres d'origine brahmi, dont les plus répandus sont les chiffres européens. Avec dix chiffres de 0 à 9, cette écriture correspond au développement décimal.

Sommaire 1 Notations 2 Symboles 3 Historique 3.1 En Chine 3.2 En Inde 3.3 Le symbole zéro 3.4 Adoption par les Arabes 3.5 Adoption en Europe 3.6 Dans le monde 4 Le système positionnel indien a-t-il une origine chinoise ? 5 Voir aussi 5.1 Articles connexes 5.2 Sources

Notations

Dans des formes élaborées, l'écriture décimale positionnelle utilise :

• dix chiffres (représentant les entiers de zéro à neuf),
• un séparateur de position entre des groupes de chiffres de la partie entière du nombre (exemple : 1 000 000),
• des symboles positif et négatif pour les nombres signés (exemple : -6),
• un marqueur décimal entre les unités et la partie fractionnaire du nombre (exemple : 12,5),
• un symbole pour indiquer que des chiffres se répètent à l'infini (exemple : 1,309 pour 1,3090909…).

Une telle écriture permet ainsi de représenter les entiers naturels à l'aide de 10 symboles seulement (dix chiffres) et les nombres rationnels à l'aide de 13 (dix chiffres, un signe pour les nombres négatifs, un marqueur décimal, un symbole pour les chiffres se répétant à l'infini).

Symboles

Valeur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Arabe extrême-oriental ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ Arabe oriental ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ Balinais ᭐ ᭑ ᭒ ᭓ ᭔ ᭕ ᭖ ᭗ ᭘ ᭙ Bengalais ০ ১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯ Braille ⠚ ⠁ ⠃ ⠉ ⠙ ⠑ ⠋ ⠛ ⠓ ⠊ Devanagari ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९ Européen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gujarati ૦ ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯ Gurmukhi ੦ ੧ ੨ ੩ ੪ ੫ ੬ ੭ ੮ ੯ Kannada ೦ ೧ ೨ ೩ ೪ ೫ ೬ ೭ ೮ ೯ Khmer ០ ១ ២ ៣ ៤ ៥ ៦ ៧ ៨ ៩ Laotien ໐ ໑ ໒ ໓ ໔ ໕ ໖ ໗ ໘ ໙

Valeur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Limbu ᥆ ᥇ ᥈ ᥉ ᥊ ᥋ ᥌ ᥍ ᥎ ᥏ Malayalam ൦ ൧ ൨ ൩ ൪ ൫ ൬ ൭ ൮ ൯ Mongol ᠐ ᠑ ᠒ ᠓ ᠔ ᠕ ᠖ ᠗ ᠘ ᠙ Myanmar ၀ ၁ ၂ ၃ ၄ ၅ ၆ ၇ ၈ ၉ N'ko ߀ ߁ ߂ ߃ ߄ ߅ ߆ ߇ ߈ ߉ Nouveau thaï lü ᧐ ᧑ ᧒ ᧓ ᧔ ᧕ ᧖ ᧗ ᧘ ᧙ Oriya ୦ ୧ ୨ ୩ ୪ ୫ ୬ ୭ ୮ ୯ Osmanya � � � � � � � � � � Tamoul ௦ ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯ Télougou ౦ ౧ ౨ ౩ ౪ ౫ ౬ ౭ ౮ ౯ Thaï ๐ ๑ ๒ ๓ ๔ ๕ ๖ ๗ ๘ ๙ Tibétain ༠ ༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨ ༩

La numération colombienne est mixte, à la fois positionnelle et multiplicative, car elle utilise le symbole de la dizaine au lieu du zéro positionnel :

Valeur	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Symbole

Historique

En Chine

En Chine, les plus anciennes traces du système de numération remontent à la propagation de l'écriture, vers 1350 av. J.-C. Il s'agit d'un système décimal de type hybride, disposant de neuf chiffres pour les unités, se combinant avec les symboles représentant dix, cent, mille et dix-mille. Entre le VIII^e et le IV^e siècle av. J.-C., apparait un autre système de représentation des nombres, positionnel, à l'aide de baguettes, ces dernières étant disposées verticalement pour les positions impaires, horizontalement pour les positions paires, et le zéro étant figuré par un espace. À partir du début du II^e siècle av. J.-C., les baguettes deviennent un instrument de calcul. Ce système de notation se généralise alors, et reste employé jusqu'au début du XX^e siècle, bien que le boulier supplante les baguettes à calculer entre le XIII^e et le XIV^e siècle.

En Inde

En Inde, l'écriture brahmi apparait au III^e siècle av. J.-C., mais, à cette époque, les chiffres sont utilisés au sein d'un système employant une notation additive. En 458, dans un traité de cosmologie jaïna, en sanskrit, le Lokavibhaga (Les Parties de l'univers), les nombres sont écrits selon le principe positionnel, bien que les chiffres soient écrits en toutes lettres, le mot « sunya » (signifiant « vide ») indiquant une absence de valeur. La plus ancienne apparition d'une utilisation positionnelle des chiffres indiens, de un à neuf, date de 595. Cet usage se retrouve en plusieurs endroits du sous-continent au VII^e siècle, et se généralise à partir du IX^e siècle. En 628, Brahmagupta décrit le « sunya » comme un nombre dans son ouvrage en sanskrit Brahmasphutasiddhanta (L'Ouverture du monde). L'usage à cette époque d'une notation positionnelle décimale en Inde, employant des chiffres de un à neuf, est rapportée par Sévère Sebokht, un évêque syriaque, en 662.

Le symbole zéro

Les premiers symboles en lien avec une écriture décimale correspondant au zéro positionnel, en forme de rond ou de point, remplaçant l'espace qui précédait, ont été trouvés dans l'actuel Cambodge en 683 et à Sumatra la même année et en 684. Ces régions sont, à l'époque, sous influence chinoise, et la première bénéficie alors de nombreux échanges avec l'Inde. En Inde, la première inscription comportant distinctement ce zéro date de 876. En Chine, le plus ancien texte imprimé faisant intervenir le zéro positionnel avec le système de notation des baguettes est le Su Chu Jin Chang, de 1247, mais une allusion à l'usage d'un point apparait dans le Kai Yuan Chan Jing, paru entre 718 et 729.

Adoption par les Arabes

Afin de favoriser l'essor des sciences, les Arabes développent un mécénat scientifique à partir de la deuxième moitié du VIII^e siècle, ils invitent des savants étrangers, construisent des bibliothèques, traduisent des textes anciens, généralement à partir du syriaque ou du pehlévi (moyen-persan). Une numération alphabétique, additive, est alors d'usage, comme chez la plupart des peuples dont l'alphabet dérive du phénicien.

Avec la visite d'un astronome indien à la cour du calife Al-Mansour, à Bagdad, ce dernier réalise l'importance des sciences indiennes. Il charge alors Al-Fazari, en 772, de traduire en arabe des tables astronomiques indiennes. Vers cette période sont traduits Aryabhata et Brahmagupta. Vers 820, le calife Al-Mam'un fonde à Bagdad la « Maison de la Sagesse », afin de permettre aux savants de travailler autour d'une grande bibliothèque, libérés des contraintes matérielles. Dans ce contexte, au début du IX^e siècle, Al-Khwarizmi décrit les notations indiennes dans un ouvrage disparu, nommé aujourd'hui Kit ab al-jam'wal tafriq bi hisab al-Hind (Livre sur l'addition et la soustraction d'après la méthode des Indiens), mais s'il fait usage du zéro positionnel, il ne considère pas le zéro comme un nombre. Dans son ouvrage Kit ab al-fusul fi-l-hisab al-Hindi (Livre sur les chapitres de l'arithmétique indienne), écrit au milieu du X^e siècle à Damas, Abu l-Hasan al-Uqlidisi vante les mérites du nouveau système de numération.

Adoption en Europe

Ce système, en Europe, s'est pendant longtemps confiné à la partie arabe de l'actuelle Espagne, la numération romaine étant en usage au-delà. Sa première apparition dans le monde chrétien, sans le zéro, se trouve dans un manuscrit, le Codex Vigilanus écrit en 976 dans un monastère du nord de l'Espagne, le couvent d'Albelda. Entre 967 et 969, Gerbert d'Aurillac découvre la science arabe dans les abbayes catalanes. Plus tard, grâce à ses correspondants, il obtient l'ouvrage De multiplicatione et divisione (Sur la multiplication et la division). Il propose alors, aux alentours de l'an mil, une simplification de l'abaque en adoptant des jetons comportant les chiffres arabes de un à neuf. Devenu pape en 999, il essaie d'introduire son outil de calcul, l'abaque de Gerbert, au sein de la chrétienté, mais son entreprise est mise à mal par l'opposition des clercs.

Vers la fin du XI^e siècle, avec les territoires pris aux Arabes, les Chrétiens découvrent des manuscrits scientifiques. Ainsi Tolède, prise en 1085, devient, sous l'impulsion de l'évèque Raimond, le principal centre de traduction d'œuvres arabes en latin, et le Liber Algorismi de numero Indorum (Livre d'Al-Khwarizmi sur les chiffres indiens) y est traduit. En 1130, l'Anglais Adélard de Bath publie Algoritmi de numero indorum et une traduction d'Al-Khwarizmi. Le nouveau système ne tarde pas à être appelé « algorisme » (du nom latinisé d'Al-Khwarizmi, Algorizmi, et modifié plus tard en algorithme), ses partisans « algoristes », et ses opposants « abacistes » (partisans de l'abaque).

À partir de la fin du XII^e siècle, le commerce prend une dimension internationale, et l'Italie y occupe une place centrale. En 1202, Léonard de Pise, dit Fibonacci, ayant appris l'arabe et le calcul à Bougie (Béjaïa), en Algérie, publie le Liber Abaci (Livre de l'abaque), un traité de calcul et comptabilité (les professeurs de calcul sont alors appelés « maitres d'abaque ») largement diffusé, dans lequel il expose les chiffres arabes. Au cours du XIII^e siècle, les chiffres arabes commencent à s'enseigner dans les écoles de comptabilité en Italie. Cependant, avec la guerre de Cent Ans et l'épidémie de peste noire, qui se répand en Europe à partir de 1438, le commerce s'effondre.

Par la suite, l'économie reprend de plus belle, les banques et les assurances accompagnant l'activité commerciale. Les traités d'arithmétique à l'usage des marchands, s'inspirant du Liber abaci de Fibonacci, se multiplient en Italie, à partir du milieu du XIV^e siècle. Vers 1480, avec l'imprimerie, développée par Gutenberg en 1434, des ouvrages de ce type sont publiés dans plusieurs villes d'Europe. Les derniers vétos ecclésiastiques concernant l'utilisation du nouveau système sont levés au XV^e siècle, mais, jusqu'à la fin du siècle, le principe de la numération décimale de position nécessite d'être expliqué. Aux XV^e et XVI^e siècles, diverses notations, notamment pour les nombres décimaux, complètent le système. Celui-ci s'impose définitivement en France à la fin du XVIII^e siècle avec la Révolution. Enfin, en 1889, avec la définition axiomatique des entiers naturels, parue dans l'Arithmetices principia nova methodo exposita, de Giuseppe Peano, le zéro acquiert définitivement le statut de nombre.

Dans le monde

Sous l'influence de l'Europe, de nombreux pays adoptent le système de notation décimal positionnel, avec les chiffres européens. Les quelques écritures du sud de l'Inde qui n'en bénéficient pas l'adaptent à leurs chiffres au cours du XX^e siècle, en prenant pour modèle les cultures dominantes du Nord de l’Inde ou d'autres pays.

Le système positionnel indien a-t-il une origine chinoise ?

Avec la diffusion du bouddhisme, des liens se tissent entre l'Inde et la Chine, depuis le royaume Koushan, aux confins de l'Himalaya, jusqu'à son effondrement en 320. De nombreuses traductions entre chinois et sanskrit sont entreprises à Hotan à partir de 260. Puis, un grand foyer de traduction, fonctionnant de 344 à 413, est créé à Kuqa. Au vu des importants échanges entre la Chine et l'Inde précédant la parution du Lokavibhaga, il est possible que le principe positionnel indien soit, en fait, d'origine chinoise. Le terme « sunya » rappelle d'ailleurs le vide laissé par les Chinois avec les baguettes à calculer, même s'il s'assimile alors à un zéro positionnel du fait que le vide n'en est plus vraiment un puisqu'il est écrit.

Cependant, il est également possible que les Jaïns connaissent la numération de position avant cette publication. En effet, en Inde, il existe depuis longtemps des termes pour toutes les puissances de dix, jusqu'à 10¹², aucune d'elles n'étant privilégiée ; et, les Jaïns maniant fréquemment les grands nombres, il pouvait être pratique pour eux de les omettre. Par ailleurs, le terme de « place » pour indiquer l'ordre de grandeur d'un nombre est utilisé dans l'Anuyogadvara-sutra, texte jaïn écrit au V^e siècle, mais probablement composé au I^er siècle av. J.-C.

Toutefois, aucun argument ne permet de trancher définitivement la question. En effet, d'une part, l'utilisation du terme « sunya » ne certifie pas la filiation, car il est assez naturel de désigner par « vide » une absence de quantité ; d'autre part, les remarques sur l'Anuyogadvara-sutra n'infirment pas non plus cette hypothèse, car le nombre de « places » dont il y est question peut référer au nombre de puissances de dix mises à contribution au lieu du nombre de chiffres employés, et la version écrite de ce texte n'est pas nécessairement conforme à l'originale, elle-même datée de manière incertaine.

Quoi qu'il en soit, l'apport de l'Inde n'est pas négligeable : les Indiens sont les premiers à utiliser un système de notation positionnel employant des chiffres dont le tracé est indépendant de la valeur représentée. Enfin, si l'Inde a joué un grand rôle dans le développement du principe de position, il semble que le sanskrit soit une langue qui s'y prêtait bien.

Voir aussi

Articles connexes

• Histoire des mathématiques
  • Mathématiques chinoises
  • Mathématiques indiennes
  • Mathématiques arabes
• Numération
  • Système décimal
  • Système de numération
  • Notation positionnelle
  • Numération chinoise
  • Numération indienne
  • Numération arabe
• Chiffre arabo-indien
• Zéro
• Développement décimal

Sources

• Nombres, outils de calcul et expressions mathématiques en Chine ancienne [pdf]
• La diffusion de la numération décimale de position [pdf]
• L'apport de l'Inde aux mathématiques arabes [pdf]
• Histoire des mathématiques [pdf]
• Histoire de la numération et de l'arithmétique indiennes des origines au douzième siècle [pdf]
• (en) The invention of nothing
• Calcul arithmétique et religion