Limite (mathématiques)

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En mathématiques, rechercher la limite d'une suite ou d'une fonction, c'est déterminer si cette suite ou cette fonction s'approche d'une valeur particulière lorsque la variable prend des valeurs extrêmes. Dans cette définition très intuitive, deux notions restent à définir avec précision : la notion de « s'approcher » et celle de « valeur extrême ».

Historiquement, les mathématiques se sont d'abord intéressées aux limites de suites : on cherchait à savoir si, pour les grandes valeurs de l'indice, les termes de la suite se rapprochaient d'une valeur particulière, c'est-à-dire si, à partir d'un certain rang, on était aussi proche que l'on veut de cette valeur particulière. La notion de proximité est liée à une distance qui dans R est définie par la valeur absolue d'une différence, mais cette notion peut se généraliser à tout espace métrique. Plus tard, la notion s'est étendue aux espaces topologiques et « être proche » signifie alors « être dans un voisinage arbitrairement choisi ».

Ensuite est intervenue la notion de limite de fonction, initialement rattachée à la limite de suite. Pour chercher la limite d'une fonction quand la variable s'approche de a, on cherchait à déterminer la limite de la suite (f(u_n)) pour toute suite (u_n) dont la limite était a. La complexité de cette approche et la multiplicité des cas ont conduit à définir la notion de limite de fonction indépendamment de celle de limite de suite. Pour pouvoir manipuler la notion de limite et l'exploiter sans erreur, il a été nécessaire de la définir de manière plus précise et plus formelle. C'est ainsi que cet article présente une définition formelle de la limite d'une suite convergente, de la limite d'une fonction à valeurs dans R, la notion de limite infinie, et présente le cas de l'espace métrique et de l'espace topologique.

Voir aussi, pour une présentation plus abordable, l'article limite dans la série Mathématiques élémentaires.

Sommaire

1 Limite d'une suite de nombres réels
- 1.1 Exemples
2 Limite d'une fonction en un point
3 Espaces métriques
4 Annexes
- 4.1 Notes et références
- 4.2 Articles connexes

Limite d'une suite de nombres réels

Article détaillé : limite de suite.

Supposons que (x₁, x₂, ...) soit une suite de nombres réels. On dit que cette suite est convergente si, par définition :

il existe un réel L tel que pour tout réel ε>0 il existe un entier naturel n₀ (qui dépend de ε) tel que pour tout entier n>n₀ on ait |x_n - L| < ε. Ce qui s'écrit :

$\forall \varepsilon>0, \exists n_0,\ \forall n \geq n_0,\ L-\varepsilon < u_n < L+\varepsilon\quad$ ou bien encore, ce qui revient au même

$\forall \varepsilon>0, \exists n_0,\ \forall n \geq n_0,\ |{u_n - L}| < \varepsilon$

Intuitivement, cela signifie que tous les termes de la suite deviennent aussi proches que l'on veut d'un réel L, dès que n est assez grand; la valeur absolue |x_n - L| peut être interprétée comme la distance entre x_n et L.

On démontre que, pour une suite convergente, le réel L de la définition est unique. Ce réel L est appelé la limite de cette suite et on écrit :

$\lim_{n \to +\infty}x_n = L$

ou encore, en considérant $x$ comme la fonction $n\mapsto x_n$ , on peut écrire $\lim_{+\infty} x = L$ .

Par contre, il est recommandé d'éviter des notations hybrides, du genre $lim x n = L$ dans laquelle l'indice muet n'est pas clairement identifié. On pourrait considérer que c'est n qui est fixé et x qui tend vers quelque chose, en un sens à définir.

Toutes les suites ne sont pas convergentes et, dans le cas où une suite n'est pas convergente, elle est dite non convergente ou divergente. Certains préfèrent réserver le terme divergent aux suites non convergentes non bornées.

Exemples

La suite (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres réels est convergente de limite 0.
La suite (3, 3, 3, 3, 3, ...) est convergente de limite 3.
La suite (1, -1, 1, -1, 1, ...) est non convergente
La suite (1, -2, 3, -4, 5, ...) est divergente.
La suite (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) est convergente de limite 1. Cette suite est un exemple de série.
Si a est un nombre réel de valeur absolue |a| < 1, alors la suite de terme général aⁿ est convergente de limite 0.
Si a > 0 , alors la suite de terme général a^1/n est convergente de limite 1.

Limite d'une fonction en un point

Supposons que f : U → R soit une application définie sur un sous-ensemble U de l'ensemble R des réels. Si p est un réel, n'appartenant pas nécessairement à U mais tel que f soit « définie au voisinage^[1] de p », on dit^[2] que f admet une limite (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant

pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans U tel que |x - p| < δ, on ait |f(x) - L| < ε.

On démontre que le réel L de la définition, lorsqu'il existe, est unique et on l'appelle limite de f au point p. On le note :

$\lim_{x \to p}f(x) = L$ ou

lim p f = L

On peut démontrer que ceci est équivalent à

pour tout suite convergente (x_n) dans U de limite égale à p, la suite (f(x_n)) est convergente de limite L.

Remarquons qu'une fonction peut admettre une limite en p sans être définie en p. Mais si une fonction f est définie en p et admet une limite en ce point, alors cette limite ne peut être que f(p). On dit dans ce cas que f est continue en p.

Définissons maintenant la limite épointée (ou limite par valeurs différentes) :

On dit que f admet une limite épointée (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant

pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans U tel que 0 < |x - p| < δ, on ait |f(x) - L| < ε.

De même ce nombre L est alors unique et on note :

$\lim_{x \to p, x\neq p}f(x) = L$ .

Occasionnellement, il peut être utile de n'approcher le point p que d'un seul côté.

On dit que f admet une limite à droite (finie) au point p, s'il existe un réel L vérifiant

pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans U tel que 0 < x - p < δ, on ait |f(x) - L| < ε.

Ce nombre L est alors unique et on le note :

$\lim_{x \to p+}f(x) = L$ .

Les limites à gauche s'obtiennent en remplaçant x - p dans la dernière définition par p - x.

Il est possible aussi de considérer des limites où p ou L sont égaux à plus l'infini (+∞) ou moins l'infini (-∞).

On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers p (ou que f a pour limite +∞ en p) si

pour tout réel R > 0, il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x tel que |x - p| < δ on ait f(x) > R.

On dit que f(x) tend vers L quand x tend vers +∞ (ou que f a pour limite L en +∞) si

pour tout réel ε > 0 il existe un réel S > 0 tel que pour tout x > S, on ait |f(x) - L| < ε.

Enfin, on dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ (ou que f a pour limite +∞ en +∞) si

pour tout réel R > 0 il existe un réel S > 0 tel que pour tout x tel que x > S, on ait f(x) > R.

Les définitions pour moins l'infini sont analogues.

En remplaçant ε par S comme précédemment, on peut aussi définir les limites infinies d'un seul côté (à droite ou à gauche).

Exemples

La limite de $x\mapsto \frac{1}{x}$ en l'infini est égale à 0.

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$

La limite de $x\mapsto \frac{1}{x}$ en 0 n'existe pas. La limite de $x\mapsto \frac{1}{x}$ en 0 par valeurs supérieures est +∞.

$\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x \to 0-} \frac{1}{x}=-\infty$

La limite de $x\mapsto x^2$ en 3 est égale à 9. (Dans ce cas la fonction est définie et continue en ce point, et la valeur de la fonction est égale à la limite.)

$\lim_{x \to 3} x^2=9$

La limite de $x\mapsto x^x$ en 0 est égale à 1.

$\lim_{x \to 0} x^x=1$

La limite de $x\mapsto \frac{(a+ x)^2-a^2}{x}$ en 0 est égale à 2a.

$\lim_{x \to 0} \frac{(a+ x)^2-a^2}{x}=2a$

La limite à droite de $x\mapsto \frac{\sqrt{x^2}}{x}$ en 0 par valeurs supérieures est égale à 1; la limite à gauche est égale à -1.

$\lim_{x \to 0+} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=1$ $\lim_{x \to 0-} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1$

La limite de $x\mapsto x \sin\frac{1}{x}$ en plus l'infini est égale à 1.

$\lim_{x \to +\infty} x.\sin\frac{1}{x}=1$

La limite de $x\mapsto \frac{\cos(x)-1}{x}$ en 0 est égale à 0.

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x}=0$

Propriétés

Article détaillé : Opérations sur les limites.

La limite épointée de f(x) quand x tend vers p existe si et seulement si les limites à droite et à gauche en p existent et sont égales (peu importe ici que p appartienne ou pas au domaine de définition de f et, s'il lui appartient, peu importe la valeur de f(p)).

Si p est un point de U, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

f est continue en p
la limite de f(x) quand x tend vers p existe
la limite épointée de f(x) quand x tend vers p existe et est égale à f(p)
les limites à droite et à gauche en p existent et sont égales à f(p).

Si p n'appartient pas U, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

la limite de f(x) quand x tend vers p existe
la limite épointée de f(x) quand x tend vers p existe
les limites à droite et à gauche en p existent et sont égales.

Le passage à la limite des fonctions est compatible avec les opérations algébriques :

$\lim_{x \to p}f_1 (x) = L_1\qquad\text{et}\qquad\lim_{x \to p}f_2 (x) = L_2$

alors

$\lim_{x \to p}(f_1 (x) + f_2 (x)) = L_1 + L_2\quad\text{et}\quad\lim_{x \to p}(f_1 (x) \cdot f_2 (x)) = L_1 \cdot L_2\quad\text{et}\quad\lim_{x \to p} \left( \frac{f_1 (x)} {f_2 (x)}\right) = \frac{L_1} {L_2}$ .

(La dernière propriété suppose que f₂ ne s'annule pas dans un voisinage de p et que L₂ n'est pas nul).

Ces propriétés sont aussi valables pour les limites à droite et à gauche, pour le cas p = ±∞, et aussi pour les limites infinies en utilisant les règles suivantes :

q + ∞ = ∞ pour q ≠ -∞
q × ∞ = ∞ si q > 0
q × ∞ = -∞ si q < 0
q / ∞ = 0 si q ≠ ± ∞

(voir la droite réelle achevée).

Remarquons qu'il n'y a pas de règle générale pour le cas q / 0 : cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas, comme par exemple 0/0, 0×∞ ∞-∞ ou ∞/∞, ne sont pas non plus couverts par ces règles.

Indétermination

Il existe certaines formes de limite où il est n'est pas possible de conclure directement en utilisant des opérations sur les limites, ce sont les formes dites indéterminées.

Indétermination de la forme 0/0 quand le résultat obtenu donne 0/0

Indétermination de la forme ∞/∞ quand le résultat obtenu donne ∞/∞

Indétermination de la forme ∞ - ∞ quand le résultat obtenu donne ∞ - ∞

Indétermination de la forme 0 × ∞ qui se ramène aux deux premiers cas en remarquant qu'une multiplication par 0 équivaut à une division par l'infini, ou qu'une multiplication par l'infini équivaut à une division par 0

Indétermination de la forme 0⁰ qui se ramène au cas précédent en remarquant que a^b peut s'écrire e^b×ln(a) et que la limite de b×ln(a) est alors de la forme 0 × ∞

La règle de L'Hôpital permet souvent de lever ces indéterminations.

Espaces métriques

Les nombres réels forment un espace métrique si nous utilisons la fonction distance définie par la valeur absolue : d(x,y) = |x - y|. Il en est de même des nombres complexes avec le module. De plus, l'espace euclidien ℝⁿ forme un espace métrique avec la distance euclidienne. Voici quelques exemples motivant une généralisation des définitions de limite données précédemment.

Si (x_n) est une suite dans un espace métrique (M, d), alors on dit que la suite a une limite L si par définition pour tout réel ε>0 il existe un entier naturel n₀ tel que pour tout entier n>n₀ on ait d(x_n, L) < ε.

Si l'espace métrique (M, d) est complet (ce qui est le cas pour l'ensemble des nombres réels ou complexes et l'espace euclidien, et tout autre espace de Banach), alors on peut établir la convergence d'une suite de M en montrant que c'est une suite de Cauchy. L'avantage de cette approche est de pouvoir montrer que la suite est convergente sans nécessairement connaître la limite à l'avance.

Si M est un espace vectoriel normé réel ou complexe, alors l'opération de passage à la limite est linéaire, comme nous l'avons expliqué ci-dessus dans le cas des suites de nombres réels.

Maintenant supposons que f : M → N soit une application entre deux espaces métriques, et que p soit un élément de M et L un élément de N. On dit que la limite de f(x) quand x tend vers p est égale à L et on écrit :

$\lim_{x \to p}f(x) = L$

si par définition :

pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que pour tout x dans M tel que d(x, p) < δ, on ait d(f(x), L) < ε.

Ce qui est équivalent à

pour toute suite convergente (x_n) de M telle que la limite soit égale à p, la suite (f(x_n)) est convergente de limite L.

Une fonction f est continue en p si et seulement si la limite de f(x) quand x tend vers p existe et est égale à f(p). De manière équivalente, f transforme toute suite de M convergente de limite p en une suite de N convergente de limite f(p).

À nouveau, si N est un espace vectoriel normé, alors l'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si la limite de f(x) quand x tend vers p est égale à L et la limite de g(x) quand x tend vers p est égale à P, alors la limite de f(x) + g(x) quand x tend vers p est égale à L + P. Si a est un scalaire du corps de base, alors la limite de af(x) quand x tend vers p est égale à aL.

Si N est égal à ℝ, alors nous pouvons définir des limites infinies; si M est égal à ℝ, alors nous pouvons définir des limites à droite et à gauche de manière analogue aux définitions précédentes.

Exemples

Si z est un nombre complexe de module |z| < 1, alors la suite ( z, z², z³, ...) de nombres complexes converge et a pour limite 0. Géométriquement, ces nombres se rapprochent de l'origine en suivant une spirale logarithmique.
Dans l'espace métrique $\mathcal{C}[a,b]$ de toutes les fonctions continues définies sur l'intervalle [a,b], muni de la distance de la convergence uniforme, tout élément peut être écrit comme limite d'une suite de fonctions polynomiales. C'est ce qu'affirme le théorème de Stone-Weierstrass.

Propriétés

Théorème de la continuité séquentielle:

Une fonction f : ℝ → ℝ est continue en un point L si et seulement si :

pour toute suite réelle (x_n) convergente de limite L, la suite (f(x_n)) est convergente de limite f(L).

Une sous-suite (ou suite extraite) de la suite (x_n) est une suite de la forme (x_a(n)) où les a(n) sont des entiers naturels tels que pour tout n on ait a(n) < a(n+1). Intuitivement, une sous-suite s'obtient à partir de la suite initiale en omettant certains termes. Une suite est convergente si et seulement si toutes ses sous-suites sont convergentes et ont même limite.

L'opération de passage à la limite est linéaire dans le sens suivant : si (x_n) et (y_n) sont des suites réelles convergentes et que lim x_n = L et lim y_n = P, alors la suite (x_n + y_n) est aussi convergente et a pour limite L + P. Si a est un nombre réel, alors la suite (a x_n) est convergente de limite aL. Ainsi, l'ensemble c de toutes les suites réelles convergentes est un espace vectoriel réel et l'opération de passage à la limite est une forme linéaire sur c à valeurs réelles.

Si (x_n) et (y_n) sont des suites réelles convergentes de limites respectives L et P, alors la suite (x_ny_n) est convergente de limite LP. Si ni P ni aucun des termes y_n n'est nul, alors la suite (x_n/y_n) est convergente de limite L/P.

Toute suite convergente est une suite de Cauchy et est ainsi bornée. Si (x_n) est une suite de réels, bornée et croissante (i.e. pour tout entier n, x_n ≤ x_n+1), alors elle est nécessairement convergente.

Toute suite de Cauchy de nombres réels est convergente, ou plus simplement : l'ensemble des réels est complet.

Une suite de nombres réels est convergente si et seulement si ses limites inférieures et supérieures sont finies et égales.

Généralisations pour les espaces topologiques

Toutes les notions de limite ci-dessus peuvent être unifiées et généralisées à un espace topologique arbitraire en introduisant les filtres et leur limite.

Néanmoins la définition de limite pour le cas particulier des suites (indexées par ℕ) est relativement simple :

Une suite $(u_n)_{n\in{\mathbb N}}$ converge vers une limite u si et seulement si pour tout voisinage V de u, il existe un entier naturel N tel que $\forall n \geq N, u_n\in V$ .

On peut donner une définition équivalente à l'aide des bases de voisinages :

Étant donné $\mathcal{W}$ , une base de voisinages de u, une suite $(u_n)_{n\in{\mathbb N}}$ converge vers u si et seulement si pour tout $V\in\mathcal{W}$ , il existe un entier naturel N tel que $\forall n \geq N, u_n\in V$ .

Cette définition peut aussi être reformulée en termes d'ouverts :

Une suite $(u_n)_{n\in{\mathbb N}}$ converge vers une limite u si et seulement si pour tout ouvert O contenant u, il existe un entier naturel N tel que $\forall n \geq N, u_n\in O$ .

D'autres généralisations de cette notion, permettant par exemple de parler de limites « à l'infini » puor un espace métrique quelconque, ou de dire qu'une intégrale est une limite de sommes de Riemann, ont été définies ; les plus puissantes utilisent la notion de filtre.

Annexes

Notes et références

↑ f est dite définie au voisinage de p si p est adhérent au domaine de définition U de f, c'est-à-dire si tout voisinage de p contient au moins un point où f est définie, ou encore s'il existe une suite $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ de réels convergeant vers p telle que $f (x n)$ soit défini pour tout n.
↑ C'est cette définition de limite d'une fonction qui est désormais en vigueur en France (programmes - plus ou moins précis - régulièrement publiés au Bulletin officiel) dans l'enseignement secondaire et les classes préparatoires, supplantant la définition historique de Weierstrass qui correspond à celle appelée dès lors "limite épointée" ou "limite par valeurs différentes" ([1]). Mais dans les universités françaises (et dans les autres pays [2]), la définition "historique" reste parfois celle enseignée : cf par exemple Mathématiques L1, Cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés sous la direction de J.-P. Marco et L. Lazzarini (2007) Pearson, ISBN 9782744072581, p. 691-692, ou encore Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. Niveau L1 sous la direction de J.-P. Ramis et A. Warusfel (2006) Dunod, ISBN 210049614X, p. 588.

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Limite (mathématiques)

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Exemples

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Indétermination

Espaces métriques

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Généralisations pour les espaces topologiques

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