Fonction (mathématiques)

Représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle réel [−1 ; 1,5] par l'expression :

En mathématiques, une fonction est un concept dont la définition a évolué depuis son introduction par Leibniz à la fin du XVII^e siècle. D'abord associée à une courbe du plan, la notion est ensuite développée par Jean Bernoulli puis Euler comme résultat de la combinaison d'opérations à partir d'une variable et d'éventuels paramètres constants (réels).

Le lien entre l'expression d'une fonction et sa courbe représentative mène à l'élargissement de la notion en admettant des définitions par morceaux (en) puis des courbes qui ne peuvent être obtenues par des expressions analytiques. La condition de continuité est formalisée par Bolzano et Cauchy au début du XIX^e siècle, puis contournée par Dirichlet avec l'indicatrice des rationnels.

Parallèlement, le domaine de la variable s'ouvre aux nombres complexes. Au début du XX^e siècle, les fonctions acceptent plusieurs variables, puis peuvent être définies sur un ensemble quelconque. Sous l'impulsion de Fréchet, la valeur d'une fonction suit la même généralisation. Avec la théorie des ensembles, la notion de fonction recouvre toute relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier ne peut être en relation avec deux éléments distincts du second. Une application apparait alors comme un cas particulier de fonction.

La théorie de l'intégration et l'analyse fonctionnelle vont plus loin en considérant des fonctions presque partout définies, nécessaires pour obtenir une structure d'espace de Banach sur les espaces L^p de fonctions p-intégrables.

En analyse complexe, le prolongement analytique des fonctions holomorphes entraine la prise en compte de fonctions multivaluées sur l'ensemble des complexes, réalisées formellement comme des fonctions classiques définies sur une surface de Riemann.

L'utilisation intensive des fonctions en physique a souvent motivé les généralisations de la notion de fonction, comme celle de distribution, donnant un sens à la fonction de Dirac.

Bibliographie

• Christian Houzel, « Fonction (notion de) », Dictionnaire des mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1997.
• Jean-Louis Ovaert et Jean-Luc Verley, « Fonctions (représentation et approximation des) », Dictionnaire des mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1997.
• Stella Baruk, « Fonction », Dictionnaire des mathématiques élémentaires, Éditions du Seuil, 1995.

Voir aussi

• Application (mathématiques)
• Analyse
• Fonction numérique
• Fonction réelle d'une variable réelle
• Fonction de plusieurs variables
• Distribution (mathématiques)

• Portail de l'analyse