Tessarine

En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes déployés. Une tessarine t peut être décrite comme une matrice 2 x 2

$\begin{pmatrix} w & z \\ z & w\end{pmatrix}$ ,

où w et z peuvent être des quaternions quelconques. Si w et z sont des nombres complexes, on obtient les nombres bicomplexes.

Sommaire

1 Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres
2 Propriétés algébriques
3 Références

Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres

Nombres complexes

Lorsque z = 0, alors t correspond à un nombre complexe ordinaire, qui est w lui-même.

Nombres complexes déployés

Lorsque w et z sont tous deux des nombres réels, alors t correspond à un nombre complexe déployé, w + j z. La tessarine particulière

$j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$

possède la propriété suivante : Son produit matriciel au carré est la matrice identité. Cette propriété a conduit Cockle à appeler la tessarine j un "nouvel imaginaire en algèbre". L'importance de l'anneau commutatif et associative de toutes les tessarines semble avoir eu moins d'importance que cette tessarine particulière ainsi que le plan qu'elle crée au-delà de la ligne réelle.

Quaternions coniques, nombres bicomplexes

Lorsque w et z sont à la fois des nombres complexes

$w =~a + ib\,$

$z =~c + id\,$

(a, b, c, d réels) alors l'algèbre t est isomorphe aux quaternions coniques $a + bi + c \varepsilon + d i_0\,$ , de base $\{ 1,~i,~\varepsilon ,~i_0 \}\,$ , avec les identités suivantes :

$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i =\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad \varepsilon =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad i_0 =\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix}$

Ils sont aussi isomorphes aux nombres bicomplexes (à partir des nombres multicomplexes) de base $\{ 1,~i_1, i_2, j \}$ si une identité :

$1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i_1 =\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad i_2 =\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix} \qquad j =\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$

À noter que j dans les nombres bicomplexes est identifié avec le signe opposé de j à partir de ci-dessus.

Octonions coniques / sédénions coniques

Lorsque w et z sont à la fois des quaternions (de base $\{ 1,~i_1,~i_2,~i_3 \}\,$ ), alors l'algèbre t est isomorphe aux octonions coniques ; permettant les octonions pour w et z (de base $\{ 1,~i_1, ..., ~i_7 \}\,$ ), l'algèbre résultante est identique aux sédénions coniques.^{[réf. nécessaire]}

Propriétés algébriques

Les tessarines, lorsque w et z sont des nombres complexes, forment un anneau commutatif (différent des quaternions qui ne constituent pas un anneau commutatif). Ils permettent aussi les puissances, les racines et les logarithmes de $j = \varepsilon\,$ , qui est une racine non réelle de 1. Ils ne constituent pas un corps à cause des éléments idempotents

$\begin{pmatrix} z & \pm z \\ \pm z & z \end{pmatrix} = z (1 \pm j) = z (1 \pm \varepsilon)\,$

qui ont leur déterminant / module égale à 0 et par conséquent ne peuvent pas être inversés multiplicativement. De plus, l'arithmétique contient des diviseurs de zéro

$\begin{pmatrix} z & z \\ z & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z & -z \\ -z & z \end{pmatrix} = z^2 (1 + j )(1 - j) = z^2 (1 + \varepsilon )(1 - \varepsilon) = 0$ .

Les quaternions forment un anneau sans diviseur de zéro, et peuvent aussi être représentés par des matrices de forme 2 x 2.

Références

James Cockle dans le London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3
- 1848 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra, 33:435-9.
- 1849 On a New Imaginary in Algebra 34:37-47.
- 1849 On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines 34:406-10.
- 1850 On Impossible Équations, on Impossible Quantities and on Tessarines 37:281-3.
- 1850 On the True Amplitude of a Tessarine 38:290-2.

v · d · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle\mathbb{N}$ ) · Entier relatif ( $\scriptstyle\mathbb{Z}$ ) · Nombre décimal ( $\scriptstyle\mathbb{D}$ ) · Nombre rationnel ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) · Nombre réel ( $\scriptstyle\mathbb{R}$ ) · Nombre complexe ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ )
Extensions	Quaternion ( $\scriptstyle\mathbb{H}$ ) · Octonion ( $\scriptstyle\mathbb{O}$ ) · Sédénion ( $\scriptstyle\mathbb{S}$ ) · Nombre complexe déployé · Tessarine · Nombre bicomplexe ( $\scriptstyle\mathbb{C}$ ) · Nombre multicomplexe ( $\scriptstyle\mathbb{MC}$ ) · Biquaternion · Coquaternion · Octonion déployé · Nombre hypercomplexe · Nombre p-adique ( $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ) · Nombre hyperréel · Nombre superréel · Nombre dual · Droite réelle achevée · Nombre cardinal · Nombre ordinal · Nombre surréel · Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité · Nombre premier · Nombre composé · Carré parfait · Nombre parfait · Nombre positif · Nombre négatif · Fraction dyadique · Nombre irrationnel · Nombre algébrique · Nombre transcendant · Nombre imaginaire pur · Nombre de Liouville · Nombre normal · Nombre univers · Nombre constructible · Nombre réel calculable · Nombre transfini · Infiniment petit · Infiniment grand
Exemples	Pi (π) · Racine carrée de deux (√2) · Nombre d’or (φ) · Zéro (0) · Unité imaginaire ( $i$ ) · Constante de Neper ( $e$ ) · Aleph-zéro (ℵ₀) · Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre · Numération · Fraction · Opération · Calcul · Algèbre · Arithmétique · Suite d’entiers · Infini (∞) · Chiffre significatif

Portail des mathématiques

Catégories :

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Tessarine de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Tessarine — The tessarines are a mathematical idea introduced by James Cockle in 1848. The concept includes both ordinary complex numbers and split complex numbers. A tessarine t may be described as a 2 times; 2 matrix :egin{pmatrix} w z z… … Wikipedia
Motor variable — A function of a motor variable is a function with arguments and values in the split complex number plane, much as functions of a complex variable involve ordinary complex numbers. The split complex numbers lie in the motor plane D, a term… … Wikipedia
Hypercomplexe — Nombre hypercomplexe En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand… … Wikipédia en Français
Hypercomplexes — Nombre hypercomplexe En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand… … Wikipédia en Français
Nombre Hypercomplexe — En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand nombre de partisans… … Wikipédia en Français
Nombre hypercomplexe — En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand nombre de partisans… … Wikipédia en Français
Nombres hypercomplexes — Nombre hypercomplexe En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand… … Wikipédia en Français
Hypercomplex number — The term hypercomplex number has been used in mathematics for the elements of algebras that extend or go beyond complex number arithmetic.Hypercomplex numbers have had a long lineage of devotees including Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard… … Wikipedia
Бикватернион — Бикватернионы комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов. Содержание … Википедия
Imaginary number — In mathematics, an imaginary number (or purely imaginary number) is a complex number whose squared value is a real number not greater than zero.Ahlfors, Lars V. Complex Analysis. 3rd Ed. New York: McGraw Hill, 1979. Pages 1 4.] The imaginary unit … Wikipedia

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Tessarine

Sommaire

Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres

Nombres complexes

Nombres complexes déployés

Quaternions coniques, nombres bicomplexes

Octonions coniques / sédénions coniques

Propriétés algébriques

Références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Tessarine

Sommaire

Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres

Nombres complexes

Nombres complexes déployés

Quaternions coniques, nombres bicomplexes

Octonions coniques / sédénions coniques

Propriétés algébriques

Références

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link