Base (Arithmétique)

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En arithmétique, une base désigne la valeur dont les puissances successives interviennent dans l'écriture des nombres dans la numération N-adique, ces puissances définissant l'ordre de grandeur de chacune des positions occupées par les chiffres composant tout nombre. Par commodité, on utilise usuellement, pour les bases entières à partir de deux, un nombre de chiffres égal à la base. En effet, l'écriture d'un nombre en base N à l'aide de N chiffres allant de 0 à N-1 correspond à son développement en base N.

Bases courantes

Certaines bases sont couramment employées :

• la base 2 (système binaire), en électronique numérique et informatique,
• la base 3 (système trinaire), dans les mêmes domaines, bien que moins fréquemment,
• la base 8 (système octal), en informatique, davantage à l'échelle humaine que la base 2, aujourd'hui abandonnée au profit de la base 16. Il a été utilisé par les yuki,
• la base 9 (système nonaire), davantage à l'échelle humaine que la base 3,
• la base 10 (système décimal), la plus commune, aujourd'hui la référence dans le domaine des sciences,
• la base 12 (système duodécimal), de manière embryonnaire, a été utilisé par les Égyptiens pour le compte en heures et mois,
• la base 16 (système hexadécimal), en informatique, facilitant les conversions en base 2 en regroupant des chiffres binaires, 16 étant une puissance de 2,
• la base 20 (système vigésimal) a été utilisée par les Mayas et les Aztèques, ainsi que de manière alternative en France (dont on garde en l'héritage pour quatre-vingt)
• la base 60 (système sexagésimal), dans la mesure du temps et des angles, il a été utilisé par les Sumériens, les Akkadiens, puis les Babyloniens. (voir Numération babylonienne)
• la base 150 ou base indienne, utilisée notamment dans la table astronomique appelée Table indienne d’al-Khawarizmi

De nombreuses bases sont, et ont été, aussi utilisées par différents peuples ; consulter Numération pour plus de détails.

Remarque : bien que peu utilisée, la base 30 a l'intérêt de pouvoir exprimer le résultat de la majorité des petites fractions (de la forme 2ⁿ.3^p.5^q) sans utiliser un nombre infini de chiffres après la virgule. La base 60 le permet également mais avec deux fois plus de chiffres différents, ce qui empêche d'utiliser les 10 chiffres et les 26 lettres pour représenter tous les chiffres.

Symboles utilisés

Pour les bases jusqu'à 10 inclus, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Au-delà, on utilise les lettres. Par exemple, pour la base 16, les symboles utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

L'usage du zéro positionnel est une convention pratique et élégante, mais non nécessaire pour représenter les entiers naturels, comme l'illustre le système décimal sans zéro. Il est, par contre, indispensable pour généraliser l'écriture positionnelle aux nombres fractionnaires.

Notations courantes

Pour n'importe quelle base, on a l'habitude de l'indiquer en petit en bas à droite du nombre. Par exemple 100111₂ pour le nombre 100111 en base 2, ou encore 172₈ pour le nombre 172 en base 8.

En plus de cette notation, il en existe d'autres, notamment employées en informatique.

• Base 8 : on peut indiquer le nombre avec un zéro au début. Par exemple 0157 pour 157₈.
• Base 16 : on peut indiquer de diverses manières qu'un nombre est en hexadécimal (voir tableau ci-dessous). Une autre écriture courante est l'ajout du suffixe "h" à la fin du nombre, ce qui avec notre exemple donne AE4Fh.

Conversion d'une base à une autre

Un nombre dans une base n donnée s'écrit sous la forme d'additions des puissances successives de cette base.

• Le nombre c_n...c₂c₁c₀ en base b, constitué des chiffres c_n, ..., c₂, c₁, c₀, peut aussi s'écrire sous la forme c_nbⁿ + ... + c₂b² + c₁b¹ + c₀b⁰, c'est-à-dire un polynôme dont les coefficients sont les chiffres et l'inconnue est la base.

Lorsqu'on veut passer d'une base à une autre, on utilisera 2 méthodes (algorithmes) suivant que l'on sait calculer dans la base de départ ou dans la base d'arrivée.

Si on sait calculer dans la base de départ, des divisions entières successives par la base donneront en reste les chiffres du résultat, en commençant par les unités. Plus précisément :

q₀: = n (le nombre à convertir) ; i: = 0;

tant que q_i > 0 faire

les r_i sont les chiffres du nombre converti, en partant des unités.

Si on sait calculer dans la base d'arrivée, on évalue le polynôme (en représentant les coefficients et la base de départ dans la base d'arrivée). La méthode de Horner est généralement utilisée :

v: = c_n  ; i: = n;

pour i:=n-1 a 0 faire v: = v * b + c_i ;

v est le nombre dans la base d'arrivée.

Si on ne sait calculer ni dans la base de départ ni dans celle d'arrivée, on passe par une base intermédiaire où l'on sait calculer.

Si la base d'arrivée est une puissance de la base de départ (exemple : de la base 2 à la base 16), on peut convertir groupes de chiffres à chiffre, localement et directement.

Conversion d'une base à une autre - Pseudo-Code

N:=NombreAConvertir
D:=0
I:=1
TANT QUE N<>0 FAIRE :
    D:= D + I*(N mod BaseDArrivee)
    N:= N / BaseDArrivee
    I:= I*BaseDeDepart
 
RENVOYER D

Avec "/" une division entiere (ex : 3/2=1), BaseDeDepart la base de NombreDeDepart et BaseDArrivee la base voulue.

Systèmes balancés

Un système numérique de base 2N ou 2N+1 peut également être doté des 2N+1 chiffres signés N, ..., 2, 1, 0, 1, 2, ..., N. On parle alors de système balancé.

Bases non standard

On peut également employer des bases :

• négatives, pour lesquelles, comme pour les systèmes balancés, les nombres sont signés ;
• non-entières, on parle alors de bêta-numération (la base d'or en est un exemple) ;
• imaginaires (par exemple, le système quater-imaginaire ou la base , dans laquelle tout nombre complexe peut se développer, est une généralisation aux complexes du développement binaire) ;
• ...

Quelques propriétés

• Zéro s'écrit 0 dans toutes les bases.
• De la même manière, le nombre un s'écrit 1 dans toutes les bases, puisque quelle que soit la base, base⁰ égale 1.
• L'égalité « 121 = 11² » est vraie dans toutes les bases naturelles strictement supérieures à 2.
• En base dix, un nombre est pair s'il se termine par un multiple de 2, c'est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8 ; en base 2, il est pair s'il se termine par 0. Inversement, en base dix, un nombre est impair s'il se termine par un chiffre impair, soit 1, 3, 5, 7 ou 9, et en base deux s'il se termine par 1.
• L'alternance des chiffres 0 et 1 en binaire se fait avec les chiffres 5 ou A en hexadécimal.

555₁₆ = 010101010101₂

AAA₁₆ = 101010101010₂

• Un nombre s'écrivant de la même façon dans deux bases naturelles différentes est plus grand dans la plus grande base.

57₁₆ (=87₁₀) > 57₁₀ > 57₈ (=47₁₀)

• De même, un grand nombre aura besoin de moins de chiffres pour s'écrire dans une grande base naturelle que dans une petite.

F4240₁₆ (5 chiffres) = 1 000 000₁₀ (7 chiffres) = 1111 0100 0010 0100 0000₂ (20 chiffres)

• 10 < 1 en base n, avec n appartenant à l'intervalle ]0;1[, 10 = 1 en base 1, et 10 > 1 en base n, avec n appartenant à l'intervalle ]1;+∞[.
• la base s'écrit 10 dans toutes les bases. 10₂ = 2, 10₁₆ = 16, 10₆₀ = 60
• En base N, un nombre est divisible par N-1 (ou un diviseur de N-1) si la somme de ses chiffres est divisible par N-1 (ou un diviseur de N-1) (exemple connu: la divisibilité par 3 ou par 9 en base 10).

Culture

• Le nombre π est irrationnel et donc, quelle que soit la base naturelle utilisée, les chiffres après la virgule sont infinis et ne présentent pas de répétition, au contraire des fractions comme 1/7 = 0.142857 142857...
• Boby Lapointe avait imaginé un usage comique du système hexadécimal, qu'il avait baptisé Système bibi-binaire.
• La RFC 1924 propose la base 85 pour la notation des adresses IPv6, mais ce n'est qu'un poisson d'avril.
• Dans le jeu vidéo Portal, lors du combat final, GlaDOS annonce que 2+2 font 10, avant de se rattraper en complétant avec "En base 4, tout va bien !".

Articles connexes

• Numération, système de numération
• Base d'or (base φ)

Base de numération positionnelle
1 à 9	unaire (1), binaire (2), trinaire (3), quaternaire (4), quinaire (5), sénaire (6), septénaire (7), octal (8), nonaire (9)
10 à 60	décimal (10), duodécimal (12), hexadécimal (16), vicésimal (20), sexagésimal (60),
Autre base	base d'or (φ),
Notions	base • chiffre • nombre • notation positionnelle • numération

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