Théorie des équations (histoire des sciences)

Théorie des équations (histoire des sciences)
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Évariste Galois offre une condition nécessaire et suffisante à la résolution d'une équation polynomiale par lalgèbre. Il répond ainsi à une question centrale de la théorie, ouverte depuis des millénaires. Sa méthode fournit des résultats novateurs, à lorigine de nouvelles branches de lalgèbre, qui dépassent le cadre de la théorie des équations.

La théorie des équations est un ensemble de travaux ayant pour objectif premier la résolution déquations polynomiales[Note 1] ou équivalentes[Note 2]. Une telle équation sécrit de la manière suivante :

a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots a_1X + a_0 = 0\,

X désigne linconnue.

La « théorie des équations » est une expression utilisée en histoire des sciences[ADD 1].

Létude de ce type de questions remonte aux premiers textes mathématiques connus[Note 3]. Une première approche permet de résoudre léquation dans le cas le degré du polynôme est strictement plus petit que cinq. C'est durant la Renaissance et avec l'étude des équations cubiques que de nouveaux nombres sont utilisés[Note 4]. Ils sont qualifiés initialement dimaginaires puis de nombres complexes. Ce n'est que plus tard que ceux-ci interviennent comme solutions déquations de degré deux.

À partir de l'époque moderne, le polynôme est aussi considéré comme une fonction. Cette approche offre des méthodes pour déterminer le nombre de racines réelles, pour localiser les racines (cest-à-dire trouver des régions elles se trouvent) et pour fournir des méthodes dapproximations aussi précises que souhaité. Lun de ses achèvements est le théorème de d'Alembert-Gauss, qui indique quune fonction polynomiale non constante admet au moins une racine dans les nombres complexes.

Un point de vue du XIXe siècle consiste à étudier le plus petit ensemble de nombres, stable pour les quatre opérations et qui contienne à la fois coefficients et racines d'une équation donnée. Cette approche entre dans la théorie dite de Galois. Elle offre une condition nécessaire et suffisante pour savoir si une équation polynomiale se résout par les techniques décrites par la première approche, dans le cas contraire lon doit se limiter à des approximations issues de lanalyse. Jusquau XIXe siècle, la théorie des équations se confond avec lalgèbre. Puis, à la suite de la théorie de Galois principalement, lalgèbre sélargit pour prendre en compte de nouvelles questions. Cette théorie est à lorigine de vastes domaines mathématiques, comme la théorie des groupes, celle des anneaux ou encore la géométrie algébrique.

Remarque : Quand on ne précise pas, le terme de théorie des équations désigne généralement[Note 5] les équations polynomiales[1]. En revanche, il existe de nombreuses équations qui, sans être algébriques, font néanmoins lobjet dune théorie. Lusage veut alors que lon précise la nature de léquation, comme dans lexpression théorie des équations différentielles[2]. Il nexiste pas de théorie unique sappliquant à tout type déquations, elles forment pour cela un ensemble trop disparate.

Sommaire

Origines

Avant la théorie

Article détaillé : Inconnue (mathématiques).
Le livre Arithmetica de Diophante est le premier à décrire l'inconnue au sens mathématique du terme.

Aussi loin que remontent les textes connus en mathématiques, on y trouve des questions qui s'expriment, en langage contemporain, sous forme déquations algébriques. On lit, dans un papyrus de lÉgypte ancienne : « Quand le scribe te dit de quoi 10 est les 2/3 et le 1/10 ? »[ADD 2] ce qui se traduit par 2/3x + 1/10x = 10. Des problèmes du second degré sont particulièrement étudiés par les Babyloniens. Leur langage est géométrique, la valeur recherchée, notée ici x, est appelée coté et x2 carré, mais leur formulation est souvent purement algébrique. On peut lire, sur une tablette dargile : « Jai additionné 7 fois le côté de mon carré et 11 fois la surface : 6 15 »[3], pour décrire (en numérotation sexagésimale utilisée par les Babyloniens) léquation 11x2 + 7x = 6x60 +  15375. Le sens géométrique de la somme dune aire et dune longueur est ambiguë, cependant aucun commentaire nétaye une interprétation purement algébrique de la question (des nombres multipliés et additionnés). Aucun outil algébrique nest développé, il nexiste pas d'inconnue que lon peut déterminer à laide d'une méthode calculatoire. Les Égyptiens résolvent léquation du premier degré par essais successifs, à laide de la méthode de la fausse position et les Babyloniens disposent dalgorithmes sans autre justification qu'empirique, cest-à-dire quà la fin la valeur trouvée est bien la solution recherchée.

La première étape qui approche de lébauche dune véritable théorie demande plus de deux millénaires. Elle est franchie indépendamment par trois cultures mathématiques : la Grèce, la civilisation arabe et celle des Indes. Diophante, un mathématicien du IIIe siècle, formalise l'arithme, une lettre quil définit[4] par : « Le nombre qui possède une quantité indéterminée dunités sappelle larithme, et sa marque distinctive est σ. » Larithme sadditionne et se multiplie : « linverse de larithme multiplié par le bicarré de larithme donne le cube de larithme[5]. » ce qui signifie en langage moderne que x divise x4 et que le résultat est égal à x3. Cette démarche permet une véritable formulation mathématique de léquation et surtout, un mode de résolution. Avant que Diophante ne soit traduit en arabe[ADD 3], Al-Khawarizmi, un mathématicien dorigine perse, développe au VIIIe siècle une idée analogue. Son inconnue sappelle le say[6]. Une fois encore, le nouveau formalisme offre un moyen de résolution de léquation. R. Rashed indique : « [Avec Al-Khwarizmi] la notion de base cest la notion déquation, qui peut couvrir une classe infinie de problèmes, géométriques ou arithmétiques : lunité nest plus lobjet mais lopération même[7]. » La même idée est encore présente chez le mathématicien indien Bhāskara II dans son texte intitulé Bījagaṇita[8].

Les différentes méthodes de résolution des problèmes des premier et second degrés, avec et sans le formalisme de léquation, sont présentées dans larticle détaillé.

Algèbre arabe

Les polynômes dal-Samaw'al représentés par un tableau préfigurent une conception purement abstraite de lalgèbre.

Le mathématicien Al-Khawarizmi est souvent considéré comme fondateur de la branche des mathématiques appelée algèbre. En termes détymologie, le titre de son traité sur les équations : Kitâb al-jabr wa al-muqâbala utilise le terme al-jabr, devenu algèbre. En arabe, al-jabr vise « à transformer une soustraction dans un membre en une addition dans lautre membre »[9] dans lobjectif dobtenir uniquement des coefficients positifs. Par exemple[9] : 2x2 + 100 - 20x = 58 devient en suivant ce procédé : 2x2 + 100 = 58 + 20x. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer précisent que le travail dAl-Khawarizmi est : « lacte de naissance dune théorie des équations quadratiques, dans lensemble des nombres positifs (presque toujours rationnels), théorie qui comporte encore quelques lacunes »[ADD 4]. Ce nest pas uniquement létymologie qui justifie cette attribution à Al-Khawarizmi : en effet, celui-ci sintéresse à toutes les équations du second degré, tandis que Diophante ne cherche à résoudre que quelques cas particuliers, à solutions entières ou rationnelles. Al-Khawarizmi a une démarche plus systématique : lobjet de son traité est doffrir une méthode permettant de trouver à coup sûr, s'il en existe, une solution de léquation.

Les progrès sur la théorie des équations ne sarrêtent pas à Al-Khawarizmi. Il est à lorigine dune école mathématique qui se développe sur plusieurs siècles. Son disciple Abu Kamil dissipe une première appréhension. À lorigine, les équations étudiées sont presque toujours à coefficients rationnels, Abu Kamil généralise létude aux coefficients irrationnels[ADD 5]. La conception initiale du nombre chez les Arabes est héritée des Grecs et se limite aux fractions. Les grandeurs incommensurables, qui correspondent à nos irrationnels, sont des proportions entre longueurs, mais ne possèdent pas le statut de nombre. Al-Khawarizmi les appelle gidr asamm, qui signifie racine muette ou aveugle[ADD 4]. Deux siècles plus tard, pour les mathématiciens comme Omar Khayyam, les fractions ou les proportions incommensurables sont traitées dans les calculs de la même manière, les deux concepts sont appelés al-adad, qui signifie nombre (les rationnels sont désignés par le terme al-adad al muntiqa et les irrationnels par al-adad al-summa), la différence nétant plus que philosophique[ADD 6].

Des outils spécifiques sont développés pour permettre le calcul plus aisé des multiplications de polynômes. Al-Samaw'al les note sous la forme d'un tableau préfigurant une représentation proche du concept moderne de polynôme formel[Note 6].

Géométrie au service de lalgèbre

Article détaillé : Algèbre géométrique.
Les gnomons et la géométrie dEuclide sont le moteur de la résolution des équations algébriques pendant plusieurs siècles.

La géométrie, et particulièrement celle des Éléments d'Euclide, joue un rôle fondamental dans cette algèbre naissante. Dans le cas dune équation du second degré et après division par le coefficient du monôme dominant, le monôme du second degré peut être vu comme laire dun carré dont le côté est linconnue que lon recherche. Dans le cas de léquation du premier degré, on interprète le terme du premier degré comme laire dun rectangle dont les dimensions sont linconnue et le coefficient du monôme ; la constante est interprétée comme laire dun carré parfaitement déterminé. Cette approche permet déjà à Euclide de résoudre des problèmes des premier et second degrés[Note 7]. Langle danalyse des Arabes est différent puisquils cherchent à résoudre une équation, dans ce cas particulier, du second degré. Cependant le cœur de la démonstration est le même : une analyse dune configuration géométrique, construite sur la base dun gnomon. De manière méthodique, létude du gnomon permet détablir les trois identités remarquables source de résolution des équations du second degré.

Lapproche utilisée pour étendre la théorie naissante des équations à léquation cubique est tout aussi géométrique, mais cette fois avec des outils un peu différents. Al-Khayyām remarque quil est possible dinterpréter la racine de léquation cubique comme labscisse de lintersection dun cercle et dune parabole[Note 8], ce qui montre déjà lusage de ce que lon appellera plus tard un repère cartésien et permet de remarquer lexistence possible de plusieurs solutions[ADD 7]. Deux siècles plus tard, profitant des progrès tant algébriques que géométriques, Nasir ad-Din at-Tusi développe plusieurs outils dans le cadre de léquation cubique. Le discriminant lui permet de connaître lexistence de racines positives dans certaines situations[ADD 8], la dérivation formelle lui permet de localiser les racines et une méthode numérique, variante de celle maintenant dite de Ruffini-Horner, permet d'approcher la racine avec la précision souhaitée[10].

Les méthodes mathématiques utilisées, ainsi que cette branche de l'histoire des mathématiques, sont développées dans larticle détaillé.

Diffusion en Europe

Article détaillé : Équation cubique.
Girolamo Cardano généralise la formule de Tartaglia en lui adjoignant des nombres imaginaires pour résoudre des cas qualifiés alors dirréductibles.

À travers les textes de Fibonacci ou encore de Luca Pacioli, lItalie a accès, au début du XVIe siècle, à lessentiel du savoir arabe. Les mathématiciens dalors se passionnent pour lalgèbre et, surtout, pour un problème laissé ouvert : trouver une méthode générale et exacte de résolution de léquation cubique. Par exacte, on entend une forme différente dune suite qui converge vers la racine. Ces mathématiciens recherchent une expression analogue à celle dAl-Khawarizmi pour le second degré qui, à laide de racines carrées ou cubiques, donnerait la solution.

Lâpre compétition qui règne entre les différents mathématiciens stimule les candidats et pousse à lémergence didées nouvelles. Scipione del Ferro trouve comme formule de résolution de léquation X3 + aX = b :

x= \sqrt[3] {\frac b2 + \sqrt {\left(\frac b2\right)^2 + \left(\frac a3\right)^3}} + \sqrt[3] {\frac b2 - \sqrt {\left(\frac b2\right)^2 + \left(\frac a3\right)^3}}

A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer précisent : « Elle devait [...] provoquer de grands progrès dans la théorie des équations [...] »[ADD 9]. La formule avait à lépoque de quoi susciter létonnement. Un calcul algébrique est encore justifié par un support géométrique. Un nombre tire sa justification dune longueur, dune aire ou dun volume. Le signe - na de sens que si une longueur est soustraite à une plus grande. Dans la solution que propose del Ferro, on retranche une longueur à une autre longueur plus petite[Note 9]. À cette époque, lenjeu est de relever des défis, cest-à-dire de résoudre des équations particulières[11], la rigueur de la méthode importe peu, tant quil est finalement possible de vérifier le résultat en remplaçant x dans léquation par la solution présumée.

Une question reste ouverte : comment résoudre léquation X3 + a = bX, si 4b3 > 27a2 ? Cette fois-ci, la méthode semble impraticable car la grandeur négative qui apparaît devrait correspondre à la surface dun carré (au sens géométrique du terme). Tartaglia, un des spécialistes de lépoque en la matière, qualifie léquation dirréductible. Cest finalement Cardano qui trouve la solution : il suffit de ne pas arrêter les calculs. Ces étranges termes finissent par disparaître[12] ; par exemple en appliquant des identités remarquables comme[ADD 10] :

(5 + \sqrt {-15})(5 - \sqrt {-15}) = 5^2 - (\sqrt {-15})^2 = 25 + 15 = 40

Une nouvelle étape est franchie. Si la signification précise de lexpression -1 reste mystérieuse, lidée de faire appel à un ensemble de nombres plus grand pour résoudre une question en théorie des équations est découverte. Un élève de Cardano, Ludovico Ferrari résout léquation quartique, en 1540[13]. Bombelli propose un formalisme autorisant lexistence de nombres négatifs et imaginaires. Son influence, attestée par les commentaires de Stévin ou la correspondance entre Leibnitz et Huygens, est durable[ADD 11].

Larticle Méthode de Cardan présente la solution, en termes contemporains, de léquation cubique, et celui intitulé Méthode de Ferrari celle du quatrième degré.

Nouveau départ

Viète, Fermat et Descartes

En découvrant le calcul littéral, François Viète trouve un langage formel donnant à lalgèbre son autonomie par rapport à la géométrie.

Le début d'une véritable théorie des équations[14] est généralement attribué à Viète, mathématicien français de la fin du XVIe siècle. Sil refuse encore de considérer les avancées de Bombelli, cest-à-dire les nombres négatifs ou imaginaires, il réalise néanmoins trois avancées majeures.

La plus célèbre est probablement celle quil appelle la logique spécieuse et que lon qualifie maintenant de calcul littéral. Viète réunit deux usages des lettres en mathématiques[ADD 12]. Celui de l'algèbre se répand et se perfectionne en Europe au cours du XVIe siècle[Note 10], mais apparaissait déjà chez Diophante : une lettre sadditionne ou se multiplie et joue le rôle dinconnue dans une équation. Celui de la géométrie est courant dès l'Antiquité : une lettre désigne une grandeur ou un objet non spécifié, point, droite, distance entre deux points sur une figureLes principes généraux de résolution des équations ne peuvent être établis qu'à laide de la géométrie, comme lusage de gnomons pour les identités remarquables, puis illustrés par des exemples déquations polynomiales aux coefficients numériques, que Viète considère comme appartenant à la logique numéreuse. Viète introduit une deuxième catégorie de lettres pour les coefficients. Ceux-ci sont aussi des valeurs considérées comme fixées, même si on ne les connaît pas : c'est ce qu'on appelle maintenant un paramètre. En transportant une ancienne habitude géométrique à lalgèbre, Viète crée la logique spécieuse. Cette nouvelle approche revient à considérer une équation comme une expression du type : aX2 + bX = c. Réussir à résoudre cette équation cest être capable de résoudre toutes les équations du second degré, un unique cas général de logique spécieuse permet de traiter une infinité de cas particuliers issus de la logique numéreuse.

À ce premier apport, Viète ajoute le développement dun langage symbolique permettant dexprimer plus simplement une expression polynomiale. Les idées de Viète permettent une expression plus limpide que celle de ses prédécesseurs. Son vocabulaire est toujours en partie dactualité : on lui doit le terme de coefficient[ADD 13] ainsi que celui de polynôme[15].

Ce formalisme permet dexprimer les premiers résultats généraux, au sens ou ils sont indépendants du degré du polynôme, comme la relation entre les coefficients et les racines dun polynôme.

Le système de notations de Viète est repris par Fermat et Descartes pour, daprès Nicolas Bourbaki, devenir « à peu de choses près, celui que nous utilisons aujourdhui[16]. » Ces travaux permettent un renversement de la hiérarchie mathématique. Jusquà Viète, la théorie des équations est nécessairement une émanation de la géométrie. Lunique méthode générique de démonstration se fonde sur les Éléments dEuclide et les calculs-clés, comme les identités remarquables, sont établis à laide de considérations géométriques. Le calcul littéral permet daffranchir lalgèbre de ces contraintes. Pour Descartes, lalgèbre, additionnée de lusage dun repère cartésien, devient une machine à démontrer des théorèmes géométriques. Elle est une « extension de la logique, dénuée de toute signification par elle-même, mais indispensable pour le maniement des quantités, et, en un sens, plus fondamentale même que la géométrie[ADD 14]. »

Calcul infinitésimal

La méthode de Newton permet dapproximer aussi précisément que souhaité une racine dun polynôme.

La deuxième moitié du XVIIe siècle est lépoque dun séisme appelé calcul infinitésimal. Létude des trajectoires et des mouvements, issue de la physique, est à lorigine de nouvelles idées[ADD 15]. Pour cette étude, Isaac Newton cherche à modéliser lidée de variable à laide du concept de temps, quil appelle fluente : « J'appellerai quantité fluente, ou simplement fluente, ces quantités que je considère comme augmentées graduellement et indéfiniment, et je les représenterai par les dernières lettres de lalphabet v, x, y et z »[ADD 16].

Vu sous langle de la théorie des équations, cela revient à remplacer le X des formules utilisées depuis Diophante, par un x qui devient une quantité qui varie de moins à plus linfini. Le polynôme devient une fonction et à ce titre jouit de nouvelles propriétés. Les outils associés au calcul infinitésimal sont la limite, la dérivée ou encore lintégrale. En 1691, Michel Rolle les utilise pour établir un théorème, indiquant que si a et b sont deux racines dun polynôme P non constamment nul, il existe une valeur c comprise dans lintervalle ]ab[racine du polynôme dérivée de P[17], retrouvant un résultat[18] de Bhaskara II et Sharaf al-Dîn al-Tûsîau du XIIe siècle. Une autre application est une découverte de Newton pour le calcul des racines, appelée méthode de Newton[H 1]. Elle consiste à choisir initialement une valeur, à calculer la tangente du polynôme en cette valeur, à trouver la racine de la tangente et à réitérer.

Si ces résultats apportent des éléments nouveaux à la théorie des équations, ils nen font pas partie au sens propre. Newton développe sa méthode pour les polynômes, mais elle nest en rien spécifique à ceux-ci et permet dapproximer un zéro dune fonction dérivable quelconque, ce dont Newton prend conscience puisquil applique ensuite sa méthode à des fonctions non polynomiales. Le théorème de Rolle est maintenant généralisé à toute fonction dérivable, même si la démonstration de ce résultat date de 1860[H 2]. Dautres résultats de même nature, comme la méthode de Ruffini-Horner pour approximer une racine ou le théorème de Sturm pour localiser la présence dune solution dans un intervalle, sont mis au point durant le XIXe siècle.

Imaginaires et nombres complexes

Les travaux de Leonhard Euler sont à lorigine dune meilleure compréhension des nombres complexes, indispensable à la théorie des équations.

Les nombres imaginaires sont nés dans une ambiguïté que le calcul infinitésimal finit par dissiper. Pour Bombelli, un nombre imaginaire est une longueur géométrique à laquelle on a ajouté lun des quatre signes possibles : le plus des vraies longueurs, le moins, ainsi que deux autres quil appelle piu di meno et meno di meno qui correspondent avec nos notations à i et -i[19]. Il existe une autre définition, plus générale mais plus vague, qui nous vient de Descartes. Il utilise pour la première fois le terme imaginaire en 1637. Pour exprimer les relations entre les coefficients et les racines, mises en évidence par Viète, il est nécessaire de faire parfois appel à des nombres impossibles soit parce quils sont «moindres que rien» ce qui ne fait pas sens pour une longueur, soit parce quils sont impossibles. Ces racines doivent alors être imaginées, elles sont « [...] quelquefois seulement imaginaires cest-à-dire que lon peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais quil ny a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle quon imagine »[H 3]. Ces deux définitions ne semblent pas équivalentes. Dans un cas, les nombres imaginaires sont définis comme des complexes de la forme a + i.b, dans lautre, un nombre imaginaire est nimporte quoi qui pourrait servir aux calculs intermédiaires dune équation algébrique. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer précisent décrivent ainsi cette double définition : « Dès son origine, une ambiguïté préside à lapparition de ce terme imaginaire : entre dune part lacception idéale de Descartes ou même de Girard et, dautre part, les nombres de la forme a + b-1, avec a, b réels, qui interviennent dans les résolutions des équations de bas degré[ADD 17] ».

Le calcul infinitésimal incite au choix dune définition précise et permet de résoudre les paradoxes apparents de ces étranges nombres. La racine carrée possède une propriété algébrique, si a et b sont deux réels positifs, a.b = a.b, d un premier paradoxe[Note 11] :

-1=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt 1=1

À travers des développements en série, Leibniz parvient à justifier des égalités de Bombelli comme[ADD 18] :

\sqrt[3]{2+ \sqrt {-121}}+\sqrt[3]{2- \sqrt {-121}} = 4

Les travaux de De Moivre mettent en évidence une correspondance entre les imaginaires de Bombelli et la trigonométrie[Note 12]. La formule d'Euler e + 1 = 0 donne leurs lettres de noblesses aux nombres complexes de la forme a + i.b. Tobias Dantzig remarque que cette formule contient : « les symboles les plus importants : union mystérieuse dans laquelle larithmétique est représentée par 0 et 1, lalgèbre par -1, la géométrie par π et lanalyse par e[ADD 19]. » La logique de Bombelli est définitivement adoptée.

Si ces travaux ne se rattachent pas à l'algèbre ou à la théorie des équations, ils sont néanmoins indispensables pour comprendre son histoire et son contenu.

Théorème fondamental de lalgèbre

Article détaillé : Théorème de d'Alembert-Gauss.
Jean le Rond dAlembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le théorème fondamental de lalgèbre.

Le récent statut acquis par ces nombres imaginaires impose la démonstration dun théorème : Tout polynôme non constant admet au moins une racine complexe. Il est alors entendu que les coefficients sont des nombres réels. Cest Jean le Rond dAlembert qui en exprime la première fois le besoin en 1746[20]. Sa motivation nest en rien algébrique, il souhaite intégrer des fonctions rationnelles et utilise pour cela une décomposition en éléments simples. Sa démonstration est issue de ses préoccupations, elle est purement analytique.

La question est immédiatement considérée comme importante, et ce résultat prend le nom de théorème fondamental de lalgèbre. Le terme est cohérent car lalgèbre désigne, à cette époque, la théorie des équations. Mais la preuve de dAlembert ne séduit pas. Tout dabord, elle suppose connus deux résultats, lexistence dun minimum pour une fonction continue définie sur un compact ; ensuite un théorème de convergence de série, maintenant appelé théorème de Puiseux. Labsence de techniques topologiques et de connaissance sur la convergence rend à lépoque impossible une démonstration complète. Ensuite, lusage exclusif de lanalyse napparaît pas comme la méthode la plus adéquate pour démontrer le résultat fondamental de la théorie des équations[20].

Euler reprend la question sous un angle algébrique, héritage dal-Khawarizmi et de Viète. Son objectif est de montrer que les racines, au sens de Descartes, sont bien des nombres complexes au sens de Bombelli. Dans le cas du degré 4, sa démonstration est rigoureuse mais inutile, les formules de Ferrari établissant déjà le résultat. Pour les autres cas, la démonstration nest quesquissée[H 4]. Lagrange comble les lacunes en 1771[21].

Cette approche algébrique ne convainc pas Gauss qui indique : « lhypothèse de base de la démonstration est que toute équation possède effectivement n racines possibles ou impossibles. Si lon entend par possibles réels et par impossibles, complexes, cet axiome est inadmissible puisque cest justement ce quil sagit de démontrer. Mais si lon entend par possibles les quantités réelles et complexes et par impossibles tout ce qui manque pour quon ait exactement n racines, cet axiome est acceptable. Impossible signifie alors quantité qui nexiste pas dans tout le domaine des grandeurs[ADD 20]. » Rien ne permet effectivement encore de donner un sens comme le fait Descartes aux racines, qui sont pourtant utilisées dans les calculs de Lagrange.

La première démonstration de Gauss est construite sur le canevas de dAlembert, mais la compréhension des fonctions continues est encore trop faible pour permette de conclure. Les travaux de Bolzano finissent par permettre à Jean-Robert Argand de rédiger la première démonstration solide, encore sur les idées de dAlembert[21]. Gauss trouve une preuve un peu plus tard, cette fois ci sur le canevas dEuler et de Lagrange. Sa compréhension des polynômes formels lui permet de trouver un contournement[22]. Comme toutes les preuves algébriques du théorème, elle contient une partie analytique, à savoir lexistence dune racine si le degré du polynôme est impair.

Larticle détaillé relate plus précisément cette partie de lhistoire et propose diverses démonstrations du théorème.

Vers le théorème d'Abel

Premières tentatives

Article détaillé : Méthode de Tschirnhaus.

Si la découverte du calcul infinitésimal permet quelques percées, celles-ci ne sont guère algébriques, et à ce titre nentrent que partiellement dans la théorie des équations. Les mathématiciens , forts des succès concernant les équations de degré inférieur à quatre, se sont efforcés de trouver des formules analogues à celles dal-Khawarizmi, Cardano ou Ferrari, mais cette fois pour un degré quelconque. Plusieurs tentatives, émanant de Tschirnhaus (un ami de Leibniz) puis d'Euler et enfin de Bézout, se soldent par des échecs.

Les canevas sont similaires, lobjectif est de ramener une équation de degré n à une forme canonique Xn - c = 0. À partir de cette forme canonique, léquation nest pas encore complètement résolue mais les travaux de Moivre en trigonométrie permettent d'écrire une solution x k, si c est positif :

x_k = \sqrt[n]{c} \left( \cos \frac {2k\pi}{n} + i\sin \frac {2k\pi}{n}\right)

Pour cela, la méthode consiste à passer dune équation à une inconnue P(X) = 0 à deux équations à deux inconnues en ajoutant la suivante : Q(X) - Y = 0. En choisissant habilement le polynôme Q, serait-il possible dannuler les coefficients intermédiaires ? Pour n égal à 2, 3 ou même 4, cette méthode revient à résoudre une équation dun degré inférieur, que lon résout avec les méthodes précédentes. Mais avec n égale 5, léquation à résoudre est de degré 120, et si lon peut ramener son degré à 24 par dautres artifices, la méthode nest guère concluante.

Le point noir de la théorie reste la résolution effective de léquation polynomiale[ADD 21].

Vandermonde et léquation cyclotomique

Article détaillé : Polynôme cyclotomique.
Les racines du polynôme cyclotomique sont régulièrement espacées sur le cercle trigonométrique complexe.

En 1771, Alexandre-Théophile Vandermonde apporte du nouveau sur ce délicat point noir[H 5]. Son ambition est plus modeste que celle de ses prédécesseurs. Il ne cherche plus à résoudre léquation algébrique dans son intégralité, mais uniquement celle que les tentatives précédentes recherchaient comme point darrivée, à savoir Xn - c = 0. Comme le passage du coefficient 1 au coefficient c est trivial, il se limite à léquation Xn - 1 = 0, dite cyclotomique[Note 13]. La valeur n peut être choisie parmi les nombres premiers, la résolution de ce cas particulier permet den déduire les solutions dans le cas général.

Une expression trigonométrique de la solution est connue, ce qui assure que les n racines de léquation sont bien complexes et dans ce cas particulier, le théorème fondamental de lalgèbre est déjà établi. Il reste encore à trouver une formule algébrique capable de les exprimer. Par formule algébrique, on entend une expression contenant des nombres rationnels, lunité imaginaire i, les quatre opérations et des fonctions racines nièmes. Le terme consacré est résolution par radicaux de léquation algébrique.

La méthode de Vandermonde consiste à faire usage de polynômes en plusieurs indéterminées, et particulièrement des polynômes symétriques, cest-à-dire ceux qui sont invariants par toute permutation des indéterminées. La relation entre les coefficients et les racines peut se lire comme le fait que n polynômes symétriques à n indéterminées ont une image connue du n-uplet des racines, ces images sont les coefficients du polynôme. Ce résultat est une reformulation dune remarque de Viète. Lintérêt est que ces n polynômes symétriques génèrent lintégralité des polynômes symétriques. En plus les images sont particulièrement simples pour le polynôme cyclotomique, elles sont toutes nulles, à lexception de celle associée au polynôme X1...Xn, qui vaut ±1 selon la parité de n. Enfin, si les racines sont notées dans lordre trigonométrique ξ0 = 1, ξ1, ξ2,..., ξn on trouve que, ξj.ξk = ξj+k si j + k < n, et ξn-j-k sinon.

La méthode de Vandermonde consiste à calculer des sommes partielles de racines, qui peuvent sexprimer comme des images de fonctions rationnelles en des polynômes symétriques. Ceci permettrait de calculer ses sommes partielles, puis dappliquer une nouvelle décomposition de chaque somme en sous-sommes et de calculer ces sous-sommes. En réitérant, il a lespoir dobtenir des sous-sommes composées chacune dune unique racine et de conclure. Cette méthode lui permet de résoudre le cas n est égal à 11, mais une méthode générique reste hors de portée. Il a toutefois résolu une équation du 11e degré qui navait aucune factorisation évidente autre que celle associé au terme (X - 1)[23].

Pour résoudre léquation cyclotomique de degré quelconque, il reste encore un problème combinatoire. Comment associer les racines pour en faire des sommes partielles, solutions déquations de degrés moindres ? Problème que ne résout pas Vandermonde. Larticle détaillé propose une résolution pour les degrés 5 et 17.

Synthèse de Lagrange

Article détaillé : Polynôme symétrique.
Lagrange remet sérieusement en doute la possibilité de résolution algébrique de léquation, dans le cas général.

Dans son mémoire de 1771[H 6], Lagrange réalise une synthèse de toutes les méthodes utilisées dans le passé pour résoudre léquation algébrique de petit degré. À laide de cette synthèse, il développe une méthode, qui sapplique aux degrés 2, 3 et 4. Il montre de plus que cette méthode ne peut aboutir dans le cas général si le degré est plus élevé. Sa démarche, même si elle aboutit à un échec, est à beaucoup dégards un véritable pas en avant.

Tout dabord, la méthode est suffisamment générale pour que toutes les tentatives précédentes ne soient que des cas particuliers de la sienne. Il met ainsi un terme à lépoque des méthodes empiriques de Tschirnchaus ou Euler, nécessairement vouées à léchec.

Il reprend lidée de Vandermonde dutiliser les fonctions symétriques ainsi que les relations entre les coefficients et les racines et montre limportance des n! permutations des racines pour la résolution du cas général. Il établit à ce propos deux théorèmes préfigurant la théorie des groupes. Le premier est que les n! permutations dun n-uplets ont comme image par une fonction de n variables un ensemble de cardinal un diviseur de n!. Ce résultat est un ancêtre de ce que lon appelle maintenant le théorème de Lagrange sur les groupes. Le deuxième concerne les fonctions quil qualifie de semblables et qui sont invariantes par le même sous-groupe de permutation. Ce résultat anticipe les théorèmes sur les suites de sous-groupes que lon trouve dans la théorie de Galois ou dans le Théorème de Jordan-Hölder. La conclusion de Lagrange est pessimiste : « d il sensuit que, si la résolution algébrique des équations de degrés supérieurs au quatrième nest pas impossible, elle doit dépendre[24] [...] » Lidée dune impossibilité de résolution algébrique de léquation est émise. Le chemin est tracé, soit pour trouver une méthode générale de résolution, soit pour montrer linexistence dune telle méthode. La solution réside dans une analyse combinatoire des possibles permutations des racines. La conclusion est analogue à celle de Vandermonde pour le polynôme cyclotomique, mais cette fois, elle valable dans le cas général.

En parallèle des travaux de Vandermonde et de Lagrange, les développements de lanalyse ont fait perdre beaucoup dintérêt au problème millénaire de la résolution dune équation. À lépoque des mathématiques arabes, cette résolution était une méthode de calcul numérique essentielle. Al-Buruni souhaitait résoudre léquation cubique pour calculer des sinus de tiers dangle déjà connue[ADD 22]. Dès laube du XIXe siècle, lanalyse offre des méthodes beaucoup plus efficaces pour calculer des racines. Les résultats de Lagrange montrent quil faudra de plus, soit beaucoup de calculs, soit une grande idée, pour mettre un point final à cette question. De plus, elle risque fort de prendre la forme dun constat d'échec, peu prometteur en termes de progrès des mathématiques. Cet environnement nest pas favorable pour motiver des mathématiciens déjà renommés par ailleurs.

Progrès de Gauss

Article détaillé : Arithmétique des polynômes.
Carl Friedrich Gauss pousse plus loin les travaux initiés par Vanermonde sur les polynômes cyclotomiques. Il use pour cela dune approche structurelle, qui préfigure lavenir de lalgèbre.

Gauss ouvre le siècle suivant en apportant des éléments de réponses, sur les questions de Vandermonde et de Lagrange. Avancer dans la théorie des équations suppose le choix de bonnes fonctions rationnelles, invariantes par certaines permutations des racines. Lagrange la clairement montré et Vandermonde a émis lhypothèse quelles devaient exister pour léquation cyclotomique. Le nombre de permutations augmente rapidement en fonction du degré n du polynôme, il en existe factorielle n, soit déjà 120 pour le degré 5. Lapproche aléatoire imposerait une quantité de calcul rapidement rédhibitoire. Gauss tient compte de cet acquis et change radicalement les méthodes danalyse.

Il ne sattaque pas au problème général, mais uniquement à léquation cyclotomique, quil appelle « la théorie de la division du cercle »[H 7]. Sa méthode préfigure la démarche-clé du XIXe siècle, toujours en vigueur. Au lieu détudier directement le polynôme, il analyse la structure de lensemble des polynômes muni de son addition et de sa multiplication. Cette structure possède des points communs avec celle des entiers, il en conclut que cette branche des mathématiques « nappartient pas par elle-même à larithmétique, mais ses principes ne peuvent être puisés que dans larithmétique transcendante. Ce résultat pourra sembler aux géomètres aussi inattendu que les vérités nouvelles qui en dérivent »[H 7]. Par arithmétique transcendante, Gauss entend ce que lon appelle maintenant la théorie algébrique des nombres. En termes contemporains, lanalogie provient du fait que si les coefficients sont choisis dans un corps commutatif, lanneau des polynômes et celui des entiers sont tous les deux euclidiens. Il va considérer les ensembles de polynômes en choisissant les coefficients les plus divers. Le cas ils sont entiers lamène à démontrer un lemme qui porte son nom, montrant le caractère factoriel de cette structure. Il utilise une de ses découvertes, larithmétique modulaire et travaille aussi sur des polynômes à coefficients sur les corps finis. Cette démarche impose lusage du polynôme formel au détriment de la fonction polynôme, remettant ainsi à lhonneur la conception de Viète du polynôme.

Pour choisir les bonnes permutations, Gauss remarque quelles sont liées à la structure du groupe multiplicatif des racines, ou plus exactement celui de ses automorphismes. Dans le cas du polynôme cyclotomique, les racines sont les racines nièmes de lunité et elles forment un groupe commutatif. À la différence de Lagrange, il perçoit limportance de la loi du groupe, qui permet de combiner les différents éléments, alors que Lagrange se limitait à un simple dénombrement. Cette opération se traduit par des sommes de Gauss, qui permettent de trouver les sommes partielles imaginées par Vandermonde. Il en profite pour résoudre une conjecture quavaient vainement tenté de démontrer Euler et Legendre[25] : la loi de réciprocité quadratique.

Si Gauss fait progresser la théorie des équations, son objectif est néanmoins différent ; il met à jour une connexion inattendue entre la théorie des nombres et celle des équations.

Solution d'Abel

Article détaillé : Théorème d'Abel (algèbre).
Niels Henrik Abel montre limpossibilité de la résolution par radicaux de léquation algébrique, dans le cas général, mettant fin à la quête millénaire et centrale de la théorie des équations. Son résultat est passé sous silence.

Léventuelle impossibilité de la résolution par radicaux du cas général fait son chemin. Paolo Ruffini publie quatre mémoires à ce sujet, en 1799, 1804[H 8] puis en 1808 et 1813[26]. Pour la première fois, est déclarée clairement cette impossibilité. Sa tentative pour le montrer suit la démarche de Lagrange et consiste à montrer que lusage dune équation auxiliaire ne permet pas, pour le degré 5, dabaisser systématiquement le degré de léquation initiale. Il établit que, si une fonction symétrique de cinq variables prend strictement moins de cinq valeurs par permutations des variables[27], alors elle nen prend pas plus de 2. En conséquence, si la méthode de Tschirnhaus fonctionnait, elle réduirait une équation du cinquième degré à une équation du deuxième degré, ce qui nest pas possible dans le cas général. Cette approche est lacunaire[28]. Rien nindique quune approche radicalement différente de celles décrites par Lagrange ne pourrait aboutir[H 9].

Pour conclure de manière définitive, il fallait raisonner différemment que ne lavaient fait Lagrange ou Ruffini. Niels Abel lexprime ainsi : « [...] on se proposait de résoudre les équations sans savoir si cela était possible. Dans ce cas, on pouvait bien parvenir à la résolution, quoique ce ne fût nullement certain [...] Au lieu de demander une relation dont on ne sait pas si elle existe ou non, il faut se demander si une telle relation est en effet possible[ADD 23]. » En 1826, Abel part du résultat et suppose quil existe une formule, fonction rationnelle de radicaux, qui donne la solution dune équation de degré 5. Il sait quelle est à même dexprimer 5 racines différentes et quen conséquence, elle possède un comportement précis vis-à-vis des permutations des variables, déjà étudiées par Vandermonde, Lagrange puis Cauchy[ADD 24]. Il démontre que ce comportement introduit une absurdité[H 10].

Ce résultat reste à ce moment fort peu connu. Son article, pourtant envoyé à Gauss, Legendre et Cauchy nintéresse personne. Gauss, quAbel souhait rencontrer dans sa ville de Göttingen, ne le reçoit pas[29]. Dun point de vue théorique, le résultat dAbel apparaît tout dabord comme la mort de la théorie des équations, du moins sous sa forme classique, et lintérêt de sinvestir dans une branche condamnée semble limité. Et puis, à quoi bon souhaiter exprimer les racines sous forme de radicaux ? En termes algébriques, comme le fait remarquer Gauss, il est plus simple de noter les racines x1,..., xn et lexpression sous forme de radicaux est un peu désuète. En termes de calcul numérique, cette méthode est lourde, comparée à ce que permet lanalyse. Il suffit, pour sen rendre compte, de regarder lexpression de la partie réelle dune des racines de léquation X 17 - 1 = 0, trouvée par Gauss :

 \mathfrak {Reel}\, x_1 = \frac{1}{16}\left(-1 + \sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt17} +\sqrt{68 +12\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt17}-16\sqrt{34+2\sqrt17}+2\sqrt{578-34\sqrt17}}\right)\,

Abel ne trouve une première notoriété que posthume, avec son travail sur les intégrales elliptiques, et non avec son travail sur la théorie des équations[30].

Les théories de Galois

Œuvre de Galois

Article détaillé : Théorie de Galois.

Évariste Galois naît en 1811, soit huit ans après Abel. Il na que 14 ans lors de la publication du théorème de son prédécesseur. Quand il trouve une nouvelle démonstration, il nest probablement pas au courant de larticle dAbel[31]. De façon certaine, sa démarche est différente. Elle entre plus dans la tradition de Gauss que dans celle de Lagrange ou de Cauchy. Il sintéresse aux permutations qui laissent invariants tous polynômes en plusieurs indéterminées, appliquées aux racines, tout comme Lagrange, Cauchy ou Abel. Cependant, à limage de Gauss, il concentre ses efforts sur létude de la loi de composition, il précise : « dans le groupe de permutations dont il sagit ici, la disposition des lettres nest point à considérer, mais seulement les substitutions de lettres par lesquelles on passe dune permutation à lautre »[H 11]. Il donne le nom de groupe formel à cette structure, quil considère comme incarnée par des permutations, mais qui possède aussi une existence abstraite. À la différence de Gauss, il nétudie pas le cas particulier de léquation cyclotomique, dont le groupe est très simple, car cyclique, mais le cas général.

À laide de cet outil maintenant appelé groupe de Galois, le mathématicien établit trois résultats, le théorème de l'élément primitif, le théorème fondamental de la théorie de Galois et une nouvelle mouture du théorème dAbel, plus profonde que la précédente puisquil donne une condition nécessaire et suffisante de résolubilité. G. Verriest décrit les travaux du mathématicien dans les termes suivants : « [...] le trait de génie de Galois cest davoir découvert que le nœud du problème réside non pas dans la recherche directe des grandeurs à adjoindre, mais dans létude de la nature du groupe de léquation. Ce groupe [...] exprime le degré dindiscernabilité des racines [...]. Ce nest donc plus le degré dune équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais cest la nature de son groupe[32]. » Un peu à limage des réflexions de Lagrange, ces trois théorèmes font le tour complet de la théorie des équations. Mais en plus denglober les méthodes passées, Galois donne aussi une vision qui permet de comprendre la nature de toute équation algébrique, résoluble ou non.

Laccueil quil reçoit est encore plus glacial que celui dAbel. Cette fois-ci, Cauchy noublie pas larticle que lui envoie Galois, mais le perd carrément. Un nouvel envoi de ses travaux sur les équations elliptiques provoque le commentaire suivant : « le raisonnement nen est pas assez clair, ni assez développé pour lui permettre den juger la rigueur[33]. »

Naissance de l'algèbre moderne

Pour Camille Jordan, le premier à utiliser lexpression théorie de Galois, les travaux de cet inventeur portent sur lanalyse des groupes et des applications linéaires, pris sous langle structurel.

On utilise souvent les expressions d'« inventeur » ou de « père » de lalgèbre moderne pour désigner Galois[34]. Alain Connes, un spécialiste du domaine, précise : « Galois, à lâge de 19 ans, a déjà à son actif des résultats mathématiques dune portée incomparable qui sont lacte de naissance des mathématiques contemporaines »[35]. Pour comprendre la raison dêtre dun tel propos, il est utile de regarder ce quest lalgèbre du milieu de XIXe siècle. En 1854, Serret publie un livre Cours dAlgèbre supérieur quil définit comme « lAlgèbre est, à proprement parler, lanalyse des équations, les diverses théories partielles quelle comprend se rattachent toutes, plus ou moins, à cet objet principal[H 12]. » Cette vision, que confirmait déjà Al-Khayyam dans son grand traité écrit au XIe siècle[ADD 25], était dès lépoque de Gauss puis de Galois, déjà devenue obsolète.

Depuis Al-Khawarizmi et jusquà la fin du XVIIIe siècle, la théorie des équations est une théorie de formules. Les maîtres arabes, tout autant que ceux de la Renaissance italienne, procèdent de cette logique pour résoudre les équations de bas degrés, ou quand à laide dun discriminant, ils établissent lexistence de racines multiples. Le langage de Viète, ne sert finalement quà mieux les exprimer, ce qui permet de trouver dautres formules comme les relations entre coefficients et racines. Lagrange entre dans cette tradition dans ses réflexions, même si finalement il en établit le caractère aléatoire et aventureux pour les degrés plus élevés.

La logique de Galois est en rupture par rapport à cet héritage millénaire. Liouville, qui la redécouvre 11 ans après la mort de son auteur, la présente à lAcadémie des sciences avec les propos suivants : « Cette méthode, vraiment digne de lattention des géomètres, suffirait seule pour assurer à notre compatriote un rang dans le petit nombre des savants qui ont mérité le titre dinventeur[H 13]. » Ce sont, avant tout, des structures que Galois met en évidence. La première, déjà citée, est celle de groupe. La redécouverte des idées de Galois la met en première ligne : Cauchy ne publie pas moins de vingt-cinq articles sur cette question après la présentation de Liouville, dont un porte encore son nom[H 14]. En 1870, Camille Jordan publie un livre présentant les travaux de Galois essentiellement comme une théorie sur les groupes[H 15]. Un autre aspect nest pas passé sous silence. Chez Galois, les éléments du groupe sont aussi des symétries[Note 14] dun espace géométrique. Cet angle danalyse, que lon considère maintenant comme de lalgèbre linéaire est lune des idées fondatrices développées dans le livre de Jordan. Ces aspects structurels, à travers lanalyse des diviseurs de la dimension dun espace vectoriel, est la manière la plus simple de démontrer des conjectures plusieurs fois millénaires, à savoir la trisection de langle ou la duplication du cube. Le titre du livre de Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques est à cet égard évocateur : le terme de substitution est, en effet, celui utilisé à lépoque pour désigner une application linéaire. Plus tard, à la fin du XIXe siècle, à la suite des travaux de Dedekind et Kronecker, Weber identifie la théorie de Galois à celle des corps commutatifs[H 16].

La logique structurelle initiée par Galois est à l'origine d'une profonde mutation, elle ne touche pas uniquement le périmètre de la théorie des équations qui devient l'algèbre au sens contemporain du terme, mais toute la mathématique[36].

Annexes

Bibliographie

  • A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales [détail des éditions] 
Le plan et le contenu général de l'article sont issus en majeure partie de cette référence. Chaque paragraphe est enrichi par des références plus spécialisées.
  • R. Rashed, Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes, Les Belles lettres, Paris, 1984.
Les paragraphes Algèbre arabe et La géométrie au service de l'algèbre sont essentiellement issus de cette référence.
  • P. Freguglia, « Sur la théorie des équations algébriques entre le XVIe et XVIIe siècles », Bollettino di storia delle scienze matematiche, vol. 14, no 2, 1994, p. 259-298.
Cette référence complète le livre Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales pour les paragraphes Appropriation européenne et Viète, Fermat et Descartes.
Seuls trois chapitres ont été consultés. Ils sont utilisés pour la rédaction des paragraphes : L'évolution de l'algèbre, Calcul infinitésimal et Polynômes et corps commutatifs. Leur lecture a influencé les paragraphes Viète, Fermat et Descartes et Calcul infinitésimal.
  • D. Flament, Histoire des nombres complexes - Entre algèbre et géométrie, CNRS éditions, 2003 (ISBN 2271061288).
Cette référence couvre une période allant du XIIIe au XIXe siècles. Elle n'a été consultée que pour la période couverte par le paragraphe « Imaginaires et nombres complexes ».
  • B. Fine, G. Rosenberg, The fundamental theorem of algebra, Springer, 1997 (ISBN 0387946578).
Cette référence est celle qui couvre le paragraphe Théorème fondamental de l'algèbre.
Seuls les chapitres L'analyse mathématique au XVIIIe siècle, L'algèbre et la géométrie jusqu'en 1840 et L'algèbre depuis 1840 ont été consultés. Cette référence est la source complémentaire sur la dernière partie de l'histoire, commençant à partir du paragraphe Vandermonde et le polynôme cyclotomique.

Liens externes

Notes

  1. « Équations, théorie des », Encyclopédie Encarta.
  2. Le terme équivalent sapplique lorsque quelques transformations permettent de reformuler léquation sous la forme de la recherche des racines dun polynôme.
  3. Voir par exemple le papyrus Rhind.
  4. Voir le paragraphe Diffusion en Europe.
  5. On trouve néanmoins des exceptions. Un contre exemple est le titre du tome III : Théorie des équations dun livre consacré à lanalyse : J. Favart, Cours danalyse de lécole polytechnique, Gauthier-Villars, 1963.
  6. Voir à ce sujet larticle : Construction de l'anneau des polynômes.
  7. Voir à cet égard le Livre II des Éléments d'Euclide.
  8. Voir à ce sujet larticle : Algèbre géométrique.
  9. La valeur b/2 est plus petite que (b/2)2 + (b/3)3), ce nombre est donc négatif. Considérer ensuite la longueur de larête dun cube ayant ce nombre négatif pour volume, procède dune logique incompréhensible à cette époque.
  10. Chez Michael Stifel, Jacques Pelletier et Jean Borrel, cf. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales [détail des éditions] , p. 109.
  11. Ce paradoxe est une des raisons qui pousse à lusage du symbole i au lieu de lambigu -1.
  12. Voir Formule de Moivre.
  13. Si léquation est dite cyclotomique, le polynôme ne lest pas. Une définition précise est donnée dans larticle Polynôme cyclotomique.
  14. Le terme de symétrie est à prendre ici au sens dautomorphisme dun espace vectoriel de dimension finie.

Références

A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales [détail des éditions] 

  1. p. 83.
  2. p. 75.
  3. p. 76.
  4. a et b p. 85.
  5. p. 85, un exemple déquation de cette nature est donné dans larticle inconnue (mathématiques).
  6. p. 103.
  7. p. 95.
  8. p. 97.
  9. p. 105.
  10. Celle citée est extraite p. 106.
  11. p. 108.
  12. p. 109.
  13. p. 110.
  14. p. 111.
  15. chap. 5 intitulé « La limite : de limpensé au concept », p. 168.
  16. p. 192.
  17. p. 249.
  18. p. 253.
  19. p. 254.
  20. p. 252.
  21. Ce paragraphe correspond aux idées de la page 113.
  22. p. 94.
  23. Cette citation dAbel est reprise p. 118.
  24. Cauchy avait généralisé le résultat de Ruffini au cas de n variables en 1815, p. 118.
  25. p. 94.

Autres références :

  1. Cest par exemple le choix de : « Sur lhistoire du théorème fondamental de lalgèbre : théorie des équations et calcul intégral », Archive for History of Exact Sciences, vol. 42, no 2, p. 91-136.
  2. On trouve par exemple lexpression Théorie analytique des équations différentielles ordinaires, par le programme des cours LMD de luniversité Pierre et Marie Curie à Paris.
  3. Cette question est extraite dune tablette conservée au British museum sous le numéro BM 13901 : Lalgèbre babylonienne, par lIREM de Rennes. La notation 6 15 est ambiguë, nous avons choisi ici une des significations possibles.
  4. Collectif IREM-APMEP de Poitiers, (Institut de recherche sur l'enseignement en mathématiques - Association des professeurs de mathématiques de lenseignement public), Histoire de symboles, chapitre 12 : La première inconnue, 2003, [lire en ligne]
  5. P. Ver Eecke, Diophante dAlexandrieLes Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Desclée de Brouwer, Liège, 1926, p. 2.
  6. R. Rashed, Entre arithmétique et algèbre : recherches sur lhistoire des mathématiques arabes, Les Belles lettres, Paris, 1984.
  7. J. Dhombres G. Beaujouan G. Mazars J.-C. Martzloff R. Rashed, Le matin des mathématiciens, Belin, 1985 (ISBN 9782701105338), p. 146.
  8. L. Rodet, lalgèbre dAl-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque, lire sur Gallica, p. 24.
  9. a et b Christian Drouin, « Muhammad Al-Khâwârîzmî » sur Équipe de mathématiques de l'académie de Bordeaux, 4 avril 2001. Consulté le 25 avril 2009
  10. H. Bellosta indique : « Son successeur Sharaf al-Dîn al-Tûsî (XIIe siècle) va étudier de façon plus rigoureuse les conditions dexistence de ces points dintersection, dont labscisse détermine la racine positive demandée ; ceci va lamener à se pencher sur des problèmes de localisation et de séparation des racines et lobliger à définir la notion de maximum dune expression algébrique (en introduisant la dérivée formelle dun polynôme). Une autre innovation dal-Tûsî consiste à traiter, en même temps que la résolution géométrique, la résolution numérique des équations du troisième degré. Il développe pour cela une variante de la méthode de Ruffini Horner. » : [PDF] « À propos de lhistoire des sciences arabes », SMF Gazette, no 82, 1999.
  11. On peut lire à ce sujet le site de M. Bichaoui, LHistoire des équations du 3e degré.
  12. B. Hauchecorne, D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipses, Paris, 1996 (ISBN 2729846832).
  13. « Lodovico Ferrari », Encyclopædia Britannica
  14. P. Freguglia, « Sur la théorie des équations algébriques entre le XVIe et XVIIe siècles », Bollettino di storia delle scienze matematiche, vol. 14, no 2, 1994, p. 259-298.
  15. (en) F. Cajori, A History of Mathematics, The Macmillan Co, New York, 1919, p. 139.
  16. Nicolas Bourbaki, Éléments dhistoire des mathématiques, Springer, 2007 (ISBN 3540339817), p. 71.
  17. M. Blay, « Deux moments de la critique du calcul infinitésimal : Michel Rolle et George BerkeleyÉtudes sur lhistoire du calcul infinitésimal », revue Histoire des sciences, vol. 39, no 3, 1986, p. 223-253.
  18. (en) T. A. Broadbent, « The History of Ancient Indian Mathematics by C. N. Srinivasiengar », The Mathematical Gazette, vol. 52, no 381, 1969, p. 307.
  19. Franck Duffaud, « Mathématiciens italiens du XVIe siècle » sur Math93 : Une histoire des mathématiques, 1999. Consulté le 25 avril 2009
  20. a et b (en) B. Fine, G. Rosenberg, The fundamental theorem of algebra, Springer, 1997, (ISBN 0387946578).
  21. a et b C. Gilain, « Sur lhistoire du théorème fondamental de lalgèbre : théorie des équations et calcul intégral », Archive for History of Exact Sciences, vol. 42, no 2, p. 91-136.
  22. Jean-Yves Briend, Le théorème fondamental de l'algèbre (version moderne de cette preuve, la no 5), Centre de mathématiques et informatique de l'université de Provence Aix-Marseille, 30 janvier 2006, [PDF] [lire en ligne]
  23. Cette lecture du traité de Vandermonde provient de : J. Dieudonné, Abrégé dhistoire des mathématiques, 1700-1900, Hermann, 1996 (ISBN 2705660240).
  24. Extrait du texte précédemment cité. Il provient de lanalyse suivante : O. Gebuhrer, [PDF] Invitation à des réflexions sur la résolution algébrique des équations, IREM de Strasbourg
  25. Cyril bandelier, « Legendre, Gauss, Jacobi et les autres... » sur Laboratoire d'informatique de Paris-Nord (université Paris 13), 23 juillet 1998. Consulté le 25 avril 2009
  26. J. J. O'Connor E. F. Robertson, Paolo Ruffini, par le site de l'université de St Andrew.
  27. Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, Springer-Verlag, (réédition 2006) (ISBN 3540339388), p. 104.
  28. Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, Springer-Verlag, (réédition 2006) (ISBN 3540339388), p. 103.
  29. J. J. O'Connor E. F. Robertson, Niels Henrik Abel, université de St Andrew.
  30. Sur les travaux dAbel, on peut consulter le site, extrait du livre : B. Hauchecorne, D. Surateau, [PDF] Des mathématiciens de A à Z, Ellipses, Paris, 1996 (ISBN 2729846832).
  31. C'est ce qu'affirme la source : (en) P. Pesic, Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability, MIT Press, 2004 (ISBN 0262661829), p. 105.
  32. G. Verriest, Œuvres Mathématiques dÉvariste Galois, Gauthier-Villars, Paris, 1951.
  33. Franck Duffaud, « Évariste Galois » sur Math93 : Une histoire des mathématiques, 1999. Consulté le 25 avril 2009
  34. On trouve une expression de cette nature dans le très officiel site : Ambassade de France, « Lancement du programme de bourses « Evariste Galois » », Ambassade de France au Vietnam.
  35. A. Connes, La pensée dÉvariste Galois et le formalisme moderne
  36. André Lichnerowicz utilise les termes suivants, pour décrire la mutation dont Galois peut être pris comme un symbole : « Au lieu de subir les structures et de les reconnaître un peu au hasard, la mathématique s'efforcera de les dominer » : L'activité mathématique et son rôle dans notre conception du monde, Séance du 27 février 1965 au Collège de France.

Sources historiques

  1. I. Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, W. Jones, Londres, 1711 (première publication en 1669).
  2. Cette démonstration est lœuvre de P. O. Bonnet : P Appell, « Notice sur la vie et les travaux de Pierre Ossian Bonnet », Comptes rendus de lAcadémie des Sciences, vol. 117, 1893, p. 1013-1024.
  3. René Descartes, La géométrie, 1637.
  4. L. Euler, Recherches sur les racines imaginaires des équations, Histoire de lAcadémie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, 1751.
  5. A. T. Vandermonde, Mémoire sur la résolution des équations, Histoire de lAcadémie royale des sciences, 1771.
  6. Joseph-Louis Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Nouveaux mémoires de lacadémie royale des sciences et belles lettres de Berlin, 1771, lire sur Gallica
  7. a et b Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801 (page XV dans lédition de 1807), traduite en français par Poullet-Delisle et publié aux éditions Jacques Gabay en 1989 (ISBN 2876470543) lire sur Gallica
  8. P. Ruffini, La théorie générale des équations dans laquelle il est démontré quil est impossible de donner les solutions générales des équations de degré strictement supérieur à 4, 1799, et Sur la détermination des racines déquations numériques de degré quelconque, 1804.
  9. Lagrange précise : « Si les équations de degré supérieur au quatrième n'est pas impossible, elle doit dépendre de quelque fonctions racine, différentes de la précédente. » J-L Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Nouveaux mémoires de lacadémie royale des sciences et belles lettres de Berlin, 1771, p. 357.
  10. N. Abel, Démonstration de limpossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le 4ième degré, Journal des Mathématiques. de M. Crelle, tome I, p.  65.
  11. Extrait de Evariste Galois, Sur les conditions de résolubilité des équations algébriques, Journal de Liouville, 1846.
  12. J. A. Serret, Cours dAlgèbre supérieur, deuxième édition, 1854, p. 1.
  13. J. Liouville, « Œuvres Mathématiques dÉvariste Galois Suivie dun avertissement de Liouville », Journal des Mathématiques pures et appliquées, vol. XI, 1846.
  14. Augustin Louis Cauchy, Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles dune manière quelconque, 1845.
  15. C. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870.
  16. Heinrich Weber, Théorie de Galois, 1893.
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