Fonction Rationnelle

Fonction Rationnelle

Fonction rationnelle

En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un ensemble K. En pratique, cet ensemble est généralement \R (ensemble des réels) ou \mathbb C (ensemble des complexes). Si P et Q sont deux fonctions polynômes et si Q n'est pas une fonction nulle, la fonction f = \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}} est définie pour tout x tel que \mathrm{Q}(x) \ne 0 par

f(x) = \frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{Q}(x)}

Sommaire

Domaine de définition

Toute fonction polynôme non-nulle Q est acceptable mais la possibilité que pour un a donné, Q(a) = 0 implique que contrairement aux fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles n'ont pas un domaine de définition toujours égal à K.

Les racines du polynôme Q sont appelées pôles de la fonction rationnelle.

Exemple : soit

f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}

cette fonction est définie pour tout nombre réel x mais elle ne l'est pas pour tous les nombres complexes. Le dénominateur est 0 quand x = i et quand x = -i, où i est l'unité imaginaire.

Utilisations

Les fonctions rationnelles sont utilisées en analyse numérique pour faire l'interpolation et le lissage de fonctions. L'approximation est bien adaptée aux logiciels d'algèbre symbolique et de calculs numériques car tout comme les polynômes, elle peuvent être évaluées efficacement tout en étant plus expressives que ceux-ci.

Une technique souvent utilisée est celle de l'approximant de Padé. L'approximant de Padé de la fonction exponentielle permet par exemple de montrer que si t est un nombre rationnel différent de 0, exp(t) est irrationnel. L'approximant de Padé est un outil aussi utilisé en analyse complexe, par exemple pour l'étude de série divergente.

Décomposition en éléments simples

Article détaillé : décomposition en éléments simples.

Toute fonction rationnelle se décompose sous la forme de la somme d'un polynôme et de fractions dont les dénominateurs sont des polynômes premiers et dont le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur.

En pratique, dans \mathbb C, toute fonction rationnelle se décompose sous la forme de la somme d'une fonction polynôme et de fonctions de type c \over az+b. Dans \R , toute fonction rationnelle se décompose sous la forme de la somme d'une fonction polynôme et de fonctions de types c \over ax+b ou dx+e \over ax^2 + bx + c

La décomposition en éléments simples permet de faciliter le calcul d'intégrales.

Fonction rationnelle et fraction rationnelle

Article détaillé : fraction rationnelle.

Du point de vue mathématique, il faut distinguer le polynôme qui est d'abord une expression formelle et la fonction polynôme sur un domaine donné. Ceci est également vrai pour les quotients de polynômes. En algèbre générale, on appelle fraction rationnelle un élément du corps des fractions d'un anneau de polynômes. Pour poser cette définition, on doit partir d'un domaine d'intégrité (anneau commutatif unitaire intègre) R puis construire

R[X, Y, …, T],

l'anneau des polynômes en X, Y, …, T. Cet anneau sera aussi un domaine d'intégrité. Il est alors possible de construire le corps des fractions de cet ensemble appelé ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans R et d'indéterminées X, Y , …, T.

Voir aussi


  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Fonction rationnelle ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction Rationnelle de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Fonction rationnelle — En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un ensemble K. En pratique, cet ensemble est généralement (ensemble des réels) ou (ensemble des complexes). Si P et Q sont deux fonctions polynômes et …   Wikipédia en Français

  • Fonction Polynôme (Mathématiques Élémentaires) — Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Fonction polynome (mathematiques elementaires) — Fonction polynôme (mathématiques élémentaires) Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Fonction Holomorphe — En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs dans , définie et dérivable en tout point d un sous ensemble ouvert du plan complexe . Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle implique (via… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Zeta Locale — Fonction zêta locale En mathématiques et dans la théorie des nombres, une fonction zêta locale est une fonction génératrice pour le nombre de solutions d un ensemble d équations définies sur un corps fini F, dans les extensions de corps de F. L… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Zeta locale — Fonction zêta locale En mathématiques et dans la théorie des nombres, une fonction zêta locale est une fonction génératrice pour le nombre de solutions d un ensemble d équations définies sur un corps fini F, dans les extensions de corps de F. L… …   Wikipédia en Français

  • Fonction zeta locale — Fonction zêta locale En mathématiques et dans la théorie des nombres, une fonction zêta locale est une fonction génératrice pour le nombre de solutions d un ensemble d équations définies sur un corps fini F, dans les extensions de corps de F. L… …   Wikipédia en Français

  • Fonction hypergéométrique — Série hypergéométrique En mathématiques, une série hypergéométrique est la somme d une suite de termes tels que le quotient du terme d indice k+1 par le terme d indice k est une fonction rationnelle de k. La série, lorsqu elle converge, définit… …   Wikipédia en Français

  • Fonction holomorphe — Une grille et son image par f une fonction holomorphe. Une fonction holomorphe est une transformation conforme. En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs dans , définie et dérivable en tout point d un sous ensemble… …   Wikipédia en Français

  • Fonction polynôme (mathématiques élémentaires) — En mathématiques élémentaires, une fonction polynôme est une somme de fonctions de la forme La fonction fk est appelée fonction monôme de degré k. On dit donc qu une fonction polynôme est une somme de fonctions monômes. En général, les fonctions… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”