Methode de la fausse position

Étapes successives de la méthode regula falsi avec l'intervalle [a₁;b₁] comme point de départ. La racine de la fonction est le point en rouge.

La méthode de la fausse position ou méthode regula falsi, en analyse numérique, est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction qui combine les possibilités de la méthode de dichotomie et de la méthode de la sécante.

La méthode

Comme la méthode de dichotomie, la méthode de la fausse position commence par deux points a₁ et b₁ tels que f(a₁) et f(b₁) soient de signes opposés, ce qui implique d’après le théorème des valeurs intermédiaires que la fonction f possède au moins un zéro dans l’intervalle [a₁, b₁]. La méthode consiste à produire une suite décroissante d’intervalles [a_k, b_k] qui contiennent tous un zéro de f.

À l’étape k, le nombre

est calculé. Comme expliqué ci-dessous, c_k est l’abscisse de l’intersection de la droite passant par (a_k, f(a_k)) et (b_k, f(b_k)) avec l'axe des abscisses, que nous appelerons pour simplifier zéro de la sécante. Si f(a_k) et f(c_k) sont de mêmes signes, alors nous posons a_k+1 = c_k et b_k+1 = b_k, sinon nous posons a_k+1 = a_k et b_k+1 = c_k. Ce procédé est répété jusqu’à ce que le zéro soit approché de suffisamment près.

La formule ci-dessus est également employée dans la méthode de la sécante, mais la méthode de la sécante retient systématiquement les deux derniers points calculés, alors que la méthode de la fausse position retient deux points qui encadrent certainement un zéro. D'autre part, la seule différence entre la méthode de la fausse position et la méthode de dichotomie est l’utilisation la relation c_k = (a_k + b_k) / 2.

Recherche du zéro de la sécante

Étant donnés a et b, nous construisons la droite passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)), comme dans la figure ci-contre. Remarquons que cette droite est une sécante ou une corde du graphe de la fonction f. En utilisant la pente et un point, l’équation de la droite peut s’écrire

Nous déterminons maintenant c, l’abscisse du point d’intersection de cette droite avec l’axe des abscisses (zéro de la sécante) donnée par

La résolution de l’équation précédente donne c_k.

Analyse

Si les valeurs initiales a₀ et b₀ sont prises telles que f(a₀) et f(b₀) soient de signes opposés, alors la méthode de fausse position convergera vers un zéro de f. La vitesse de convergence sera typiquement « super-linéaire », ainsi plus rapide que la méthode de dichotomie, mais plus lente que la méthode de la sécante.

Exemple de programme

Le programme suivant en langage C a été écrit en privilégiant la clarté au dépens de l’efficacité. Il a pour objectif de résoudre le même problème que résolvaient les programmes écrits pour illustrer les méthodes de Newton et de la sécante et cherche un nombre strictement positif x vérifiant cos(x) = x³. Ce problème est transformé en un problème de recherche de zéro de la fonction f définie par f(x) = cos(x) - x³ = 0.

#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
double f(double x)
{
    return cos(x) - x*x*x;
}
 
double FalsiMethod(double s, double t, double e, double m)
{
    int n;
    double r;
    for (n = 1; n <= m; n++)
    {
        r = t - f(t) * (s - t) / (f(s) - f(t));
        if (f(r) < e)
            return r;
        if (f(s) * f(r) < 0)
            t = r;
        else if (f(r) * f(t) < 0)
            s = r;
    }
    return r;
}
 
int main(void)
{
    printf("%0.15f\n", FalsiMethod(0, 1, 5E-11, 100));
    return 0;
}

Après l’exécution de ce programme, le résultat final est d’approximativement 0,865474032979005.

Histoire

Les documents les plus anciens ayant résisté au temps et témoignant de la connaissance et de la compréhension de la méthode de la fausse position remontent à une date estimée entre 200 av. J.-C. et 100. La méthode a été trouvée dans un texte chinois antique intitulé les neuf chapitres sur l'art mathématique (九章算術). Dans ce texte, cependant, les exemples de problèmes posés appliquent la méthode de la fausse position aux équations linéaires uniquement, et les solutions sont atteintes en seulement une étape.

En Occident, cette méthode a été beaucoup utilisée par les mathématiciens Fibonacci, Pacioli Luca et Recorde Robert, Galois.

Références

• (en) Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, Numerical methods for Engineers (fifth edition), 2006
• (en) Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2000), Numerical Analysis, (7th Ed), 2000, Brooks/Cole. ISBN 0534382169

Lien externe

Article de ChronoMath sur la méthode de la fausse position

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