Arithmétique des polynômes

Arithmétique des polynômes

En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des polynômes qui peuvent se déduire de l'arithmétique et qui sont un peu analogues à celles des nombres entiers. Par exemple, l'anneau commutatif des polynômes K[X] à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K dispose d'une division euclidienne. Si le lecteur n'est pas familier avec les structures de corps et d'anneau, il peut considérer K comme une lettre symbolisant l'ensemble des nombres réels ou complexes. La division euclidienne est à l'origine des théorèmes clés de l'arithmétique élémentaire. Il en est de même pour l'arithmétique des polynômes. On démontre de la même manière l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide ou un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique, les polynômes irréductibles et unitaires prenant alors la place des nombres premiers.

Ces résultats ne s'appliquent plus de la même manière si les coefficients sont choisis dans un ensemble A comme celui des nombres entiers, où les éléments ne sont pas toujours inversibles pour la multiplication. L'étude de cette configuration demande l'usage d'un attirail d'outils mathématiques plus puissants. Ils permettent de montrer que si l'identité de Bézout n'est plus vérifiée, un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique reste encore valable. Cette propriété reste vraie si l'anneau comporte plusieurs indéterminées. Autrement dit, si A est un anneau factoriel, l'anneau des polynômes à coefficients dans A est aussi factoriel, quel que soit le nombre d'indéterminées. Dans certains cas, l'anneau A n'est pas factoriel mais juste noethérien. À condition que l'anneau des polynômes ne contienne qu'un nombre fini d'indéterminées, il est aussi noethérien.

Ces différents résultats sont à l'origine de théorèmes fondateurs de diverses branches de l'algèbre. La théorie de Galois s'appuie sur la structure euclidienne de K[X], la théorie algébrique des nombres fait usage du caractère factoriel et noethérien d'un anneau de polynômes à une ou plusieurs indéterminées sur un anneau factoriel. Enfin, des théorèmes comme celui de la base de Hilbert ou le Nullstellensatz, essentiels en géométrie algébrique, sont des conséquences directes de l'arithmétique des polynômes.

Sommaire

Corps commutatif

Dans le reste de l'article K désigne un corps commutatif. Ce corps peut être égal à Q celui des nombres rationnels, R celui des réels ou C pour les complexes, ou encore un corps fini. Dans ce paragraphe tous les polynômes sont en une indéterminée et à coefficients dans K, l'anneau de ces polynômes est noté K[X]. L'anneau K[X] possède une division euclidienne (cf l'article Division d'un polynôme) et comme pour tout anneau euclidien, les conséquences sont multiples. Elles sont exactement semblables à celle traitées dans l'article arithmétique élémentaire, qui traite de l'arithmétique des nombres entiers.

Il est possible d'exprimer ces résultats sous deux formes, la première et la plus simple est celle utilisé dans l'article arithmétique élémentaire. La deuxième, emploie le vocabulaire de la théorie des anneaux, c'est-à-dire des termes comme idéal, idéal principal, premier ou encore maximal. L'article explicite les résultats dans les deux langages.

Identité de Bézout

Suivre le plan de l'article Arithmétique élémentaire, suppose dans une premier temps de s'intéresser aux sous-ensembles de K[X] non vide et stable pour l'addition et la soustraction. Pour que les conséquences soient aussi riche que dans l'article sur les entiers, il est nécessaire d'ajouter la stabilité de l'ensemble par multiplication par un polynôme quelconque. On obtient le résultat suivant :

Sous-ensemble stable — Un sous-ensemble M non vide de K[X] est stable par addition, soustraction et multiplication par un polynôme quelconque si, et seulement si, il existe un polynôme m tel que M soit l'ensemble des multiples de m.

En termes de théorie des anneaux, ce résultat indique que K[X] est un anneau principal, ce qui est le cas de tout anneau euclidien. La démonstration se trouve dans l'article Anneau euclidien.

La conséquence directe est :

Identité de Bézout — Soit P et Q deux polynômes, P et Q sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux polynômes M et N tel que :

P\cdot M + Q\cdot N = 1

Il devient nécessaire de définir l'expression polynômes premiers entre eux. Deux polynômes sont premiers entre eux lorsque les seuls polynômes qui les divisent tous les deux sont les polynômes constants non nuls. Cette définition est très proche de celle des entiers qui sont premiers entre eux lorsque les seuls diviseurs communs sont 1 et -1, c'est-à-dire les éléments inversibles de l'anneau.

Dans le vocabulaire des anneaux, l'identité se traduit un peu différemment. Soit A et B deux idéaux de K[X], si l'intersection de A et de B est égal au produit des idéaux A.B (ce qui est l'équivalent de l'expression premiers entre eux), alors l'idéal A + B est égal à K[X].

Démonstrations
  • M est stable par addition, soustraction et multiplication par un polynôme quelconque si, et seulement si, il existe un polynôme m tel que M soit l'ensemble des multiples de m :

La démonstration étant la même que celle de l'article arithmétique élémentaire, la rédaction proposée ici est succincte. Il est simple de remarquer que les ensembles de multiples sont stables au sens de l'énoncé.

Réciproquement on suppose que M est un ensemble stable au sens de l'énoncé et non réduit à 0, soit m un polynôme de M non nul et de degré minimal et p un polynôme quelconque de M, la division de p par m donne un polynôme de M, par stabilité de M. Le reste de cette division est un polynôme de degré strictement inférieur à m et par définition de m ce reste est nécessairement nul. Ce qui montre que tout élément de M est un multiple de m. Réciproquement la stabilité montre bien que tout multiple de m est un élément de M, ce qui termine la démonstration.

  • Identité de Bézout :

L'ensemble des polynômes de la forme M.P + N.Q est stable au sens de l'énoncé précédent, c'est donc un ensemble de multiple d'un polynôme m. L'ensemble étudié contient P et Q, ce qui montre que P et Q sont des multiples de m.

Si P et Q sont premiers entre eux, m est un polynômes constant non nul car ce sont les seuls à diviser à la fois P et Q. L'ensemble des multiples de m contient m.m-1 égal à 1, ce qui montre que l'identité de Bézout est vérifié pour au moins un couple de polynôme (M,  N).

Réciproquement, si P et Q ne sont pas premier entre eux, ils ont un diviseur commun C qui n'est pas de degré nul. Et M.P + N.Q est un multiple de C et ne peut être égal à 1.

 

Polynôme irréductible

Continuer l'analogie avec l'arithmétique élémentaire demande à ce niveau de disposer d'un équivalent des nombres premiers. Dans Z, un nombre premier n'est divisible que par 1, -1 ou le produit d'un de ces deux éléments et de lui-même. Cependant ces nombres ne sont que qualifiés d'irréductibles. Pour qu'ils soient déclarés premiers il faut en plus qu'ils soient positifs. Ce qui caractérise un nombre premier, ce sont ces multiples, or 2 et -2 ont le même ensemble de multiples, ce qui forme une classe d'équivalence dont la relation R est définie par : a et équivalent à b lorsque a et b possèdent le même ensemble de multiples. Dans le cas général, deux éléments d'un anneau a et b sont équivalents, ou encore ont le même ensemble de multiples, s'il existe un élément c inversible pour la multiplication, tel que a.c = b. Dans Z, les deux seuls éléments inversibles sont 1 et -1. On dit qu'ils sont éléments du groupe des unités et les éléments inversibles sont dits des unités. La relation d'équivalence est étudiée dans l'article Groupe des unités. Dans le cas des polynômes :

Groupe des unités de K[X] — Le groupe des unités de K[X] est formé par les polynômes constants non nuls.

On en déduit une définition pour les polynômes, presque équivalente à celle des nombres premiers :

Polynôme irréductible — Un polynôme est dit irréductible lorsqu'il n'est pas inversible et que ses diviseurs sont, soit des polynômes constants inversibles, soit le produit de lui-même par un polynôme constant.

On dispose, par exemple de la proposition :

Polynôme du premier degré — Un polynôme du premier degré est toujours irréductible.

Pour exprimer l'équivalent théorème fondamental de l'arithmétique, il est important de choisir un unique nombre premier dans chaque classe d'équivalence, pour la relation R, de nombres irréductibles. Dans Z, il suffit d'indiquer qu'un nombre irréductible est dit premier s'il est positif, car chaque classe d'équivalence contient deux éléments : a et son opposé -a. La même relation d'équivalence dans K[X] existe et la classe d'équivalence d'un polynôme P est l'ensemble des polynômes k.P si k décrit tous les éléments de K non nuls. Pour exprimer l'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique, on choisit généralement l'élément de la classe qui est unitaire, c'est-à-dire celui dont le coefficient du monôme dominant (celui du plus haut degré) est égal à 1. Dans chaque classe d'équivalence de polynôme irréductible, il n'existe en effet qu'un unique polynôme unitaire.

Démonstrations
  • Le groupe des unités de K[X] est formé par les polynômes constants non nuls :

C'est une conséquence des propriétés des degrés des polynômes (cf Construction de l'anneau des polynômes). Le polynôme constant 1 est de degré 0 et le produit de deux polynômes est de degré la somme des degrés des deux polynômes. En conséquence, un polynôme de degré différent de 0 ne peut être inversible.

Réciproquement, un polynôme de degré 0 est par définition un polynôme constant non nul k, dans un corps tout élément non nul k possède un inverse pour la multiplication k-1, or k.k-1 est bien égal à 1, et tout polynôme constant non nul est bien un élément du groupe des unités.

  • Un polynôme du premier degré est toujours irréductible :

Soit P un polynôme du premier degré et M, N deux polynômes dont le produit M.N est égal à P. L'égalité sur les degré d'un produit de polynômes montre que le degré de M plus le degré de N est égal à 1. L'un des deux polynômes possède nécessairement un degré égal à 0 et l'autre à 1. Si M est celui de degré égal à 0, comme il ne peut pas être nul (le produit M.N, égal à P, serait nul et non du premier degré) M est inversible et N est égal à M-1.P. Ceci montre que les diviseurs de P sont soit des polynômes constant soit le produit de lui-même par un polynôme constant, il est bien irréductible.

 

Théorème fondamental de l'arithmétique

Article détaillé : théorème fondamental de l'arithmétique.

Avant d'énoncer le théorème fondamental, un premier lemme est utile :

Lemme d'Euclide — Soit P un polynôme irréductible et A, B deux polynômes. Si le produit des deux polynômes A.B est un multiple de P, alors soit A soit B est un multiple de P.

En termes d'anneau, ce résultat s'exprime comme par : Si un idéal premier I contient le produit de deux idéaux A et B il est contient soit A soit B , proposition toujours vraie dans un anneau principal (cf l'article Idéal premier).

On obtient finalement le théorème suivant :

Décomposition en facteurs irréductibles — Un polynôme non nul se décompose de manière unique, à l'ordre près, en un produit comportant un polynôme constant et des polynômes unitaires irréductibles.

Autrement dit, en termes d'anneau, K[X] est factoriel, car tout anneau principal est factoriel (cf l'article Anneau factoriel).

Démonstrations
  • Lemme d'Euclide :

La démonstration proposée dans l'article Lemme d'Euclide s'applique exactement au cas des polynômes, car on dispose de l'identité de Bézout.

  • Décomposition en facteurs irréductibles :

Montrons l'existence pour un polynôme P dont le degré est noté n et le coefficient du monôme dominant k. Si n est égal à 0, le résultat est évident et si n est égal à 1, le polynôme est irréductible (résultat déjà démontré dans cet article) et il suffit de factoriser k pour conclure. Pour les autres cas, on raisonne par récurrence sur le degré de P. On suppose la proposition démontrée pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à p, on suppose alors que n est égal à p + 1. Si P est irréductible, il suffit de factoriser P par k pour obtenir la décomposition. Sinon, il existe deux polynômes M et N de degrés inférieurs ou égals à p tel que P soit égal à M.N, on applique l'hypothèse de récurrence à M et N, et M.N est le produit de deux polynômes constants et de polynômes irréductibles, il suffit de multiplier les polynômes constants pour conclure.

La démonstration de l'unicité est exactement celle de l'article détaillé car on dispose du lemme d'Euclide.

 

Arithmétique modulaire

Article détaillé : Arithmétique modulaire.

Une structure digne d'intérêt sur les entiers est celle du quotient Z/nZ. Un élément de ce quotient est représenté par un reste de division euclidienne d'un entier quelconque par n, on trouve toujours un représentant unique d'une congruence modulo n dans les entiers positifs strictement plus petit que n. Si p est un entier irréductible (c'est-à-dire un nombre premier ou son opposé), la structure Z/pZ est un corps, autrement dit, tout élément non nul de Z/pZ est inversible.

Soit P un polynôme irréductible, il est tentant de considérer les polynômes de K[X] modulo P. On obtient une structure avec une addition et une multiplication, qui vérifie toutes les propriétés d'un anneau commutatif, exactement comme celle décrite dans l'article Congruence sur les entiers. On dispose encore de la propriété :

Congruence sur K[X] modulo un polynôme irréductible —  Si P est un polynôme irréductible de K[X], toute congruence modulo P non nul possède un inverse pour la multiplication.

Notons L la structure des congruences sur les polynômes de K[X] modulo P. Comme tout élément différent de 0 est inversible pour la multiplication, on dit que c'est un corps. Il est appelé le corps de rupture de K. Ce corps dispose d'une propriété remarquable :

Corps de congruence, vu comme un espace vectoriel — Le corps L dispose d'une structure de K espace vectoriel de dimension le degré de P.

Démonstrations
  • Si P est un polynôme irréductible de K[X], toute congruence modulo P non nul possède un inverse pour la multiplication :

Pour s'en rendre compte, considérons un polynôme M de K[X] dont la congruence n'est pas nulle, modulo P. Autrement dit, le reste de la division de M par P n'est pas nul, ce qui revient à dire que P ne divise pas M. Comme P est irréductible, cela revient aussi à dire que M et P sont premiers entre eux, l'identité de Bézout montre qu'il existe deux polynômes A et B tel que :

A\cdot M + B \cdot P = 1

En termes de congruence, cela signifie que :

A\cdot M \equiv 1 \pmod P

Cette égalité signifie exactement que la congruence de A est l'inverse pour la multiplication de la congruence de M modulo P.

Le corps L dispose d'une multiplication externe sur le corps des scalaires K, de manière naturelle. Si k désigne un scalaire de K et Mc la congruence modulo P représenté par le polynôme M, le produit k.Mc est la congruence représenté par le polynôme k.M. Il est simple de vérifier que cette multiplication externe définit bien une structure d'espace vectoriel sur L, muni de l'addition.

Il faut encore exhiber une base, pour calculer sa dimension. Notons χ la congruence de l'indéterminée X modulo P et B la famille (1, χ,  χ2, ...,  χn-1) et montrons que B est une base de L, considéré comme un K espace vectoriel.

La famille B est libre. En effet, soit une combinaison linéaire nulle de cette famille :
(a_k) \in \mathbb K^n \quad a_0 + a_1\chi + \cdots + a_{n-1}\chi^{n-1} = 0 \quad\text{on pose}\quad M = a_0 + a_1X + \cdots + a_{n-1}X^{n-1}
Cette combinaison linéaire de L est le représentant du polynôme M, défini à la ligne précédente, dans les congruences modulo P. La congruence de M est nulle modulo P, ce qui signifie que M est un multiple de P. Le polynôme M est un multiple de P de degré strictement inférieur à P, ce qui montre que M est le polynôme nul et que la combinaison linéaire est triviale.

Il ne reste plus qu'à montrer que :

La famille B est génératrice. Soit N un polynôme quelconque de K[X] et R le reste de la division euclidienne de N par P. R est un polynôme de degré strictement inférieur à n et congru à N modulo P. La congruence de R, Rc s'écrit encore :
R_c = r_0 + r_1\chi + \cdots + r_{n-1}\chi^{n-1} \quad\text{avec}\quad (r_k) \in \mathbb K^n
Ce qui revient à dire que la congruence de R et donc celle de N est une combinaison linéaire de la famille B, et termine la démonstration.
 

Usages de l'arithmétique de K[X]

Extension finie de R

Article détaillé : Théorème fondamental de l'algèbre.

Le corps des complexes C peut être vu comme un espace vectoriel de dimension 2, sur R. On peut se demander s'il existe d'autres corps commutatifs contenant R. Il existe par exemple le corps des fractions rationnelles à coefficients dans R. Mais, à la différence de C, vu comme un espace vectoriel sur R, le corps des fractions n'est pas de dimension finie. Un corps commutatif contenant R et espace vectoriel de dimension finie est dit une extension finie de R. L'arithmétique des polynômes à coefficients dans R permet d'établir le résultat suivant :

Extension finie de R — Il n'existe que deux extensions finies de R : R et C, à un isomorphisme près.

L'expression un isomorphisme près signifie que si L est une extension finie de R, alors soit L est égal à R soit L est une copie de C et il existe une bijection φ de C dans L tel que l'image de R soit R et que l'addition et la multiplication soit respectées par φ, autrement dit :

\forall a,b \in \mathbb C \quad \varphi (a+b) = \varphi(a) + \varphi(b) \quad\text{et}\quad \varphi(a\cdot b) = \varphi(a)\cdot \varphi(b)

Ce qui signifie que φ(a) est une autre manière de noter a, mais que les opérations restent strictement les mêmes.

Démonstration

On suppose de L est une extension finie de R contenant strictement R, on va montrer que L est isomorphe à C. Dans un premier temps, montrons que :

  • Le corps L contient une copie de C :

Soit α un élément de L qui ne soit pas dans R, comme L est un espace de dimension finie sur R, la famille (1, α,  α2, ...,  αn) est nécessairement liée par une combinaison linéaire à coefficients dans R et non triviale, si n est suffisamment grand. Notons cette combinaison linéaire nulle et non triviale :

a_0 + a_1\alpha + \cdots + a_n \alpha^n = 0\quad\text{avec}\quad (a_k)\in \mathbb R^{n+1}

On choisit n le plus petit possible, c'est-à-dire que la famille (1, α,  α2, ...,  αn-1) est libre. L'entier n est au moins égal à 2 car sinon α serait un élément de R (sinon aurait la relation a0 + a1.α = 0, qui montrerait que α est réel). Si l'on substitue à α l'indéterminée X, on obtient un polynôme P, ayant pour racine dans L la valeur α. Ce polynôme est irréductible, car s'il ne l'était pas P s'écrirait Q.R et α serait racine soit de Q soit de R, ce qui donnerait une combinaison linéaire non triviale de degré strictement inférieur à n, ce qui est impossible par hypothèse.

Les seuls polynômes irréductibles de R de degré strictement supérieurs à 1, sont les polynômes de degré 2 et de discriminant négatif (cf l'article Factorisation des polynômes), ce qui montre que P est un polynôme de degré 2 et de discriminant négatif. On note δ la racine de l'opposé du discriminant. Si l'on considère maintenant le polynôme P comme un polynôme à coefficients dans L (ce qui est possible car L contient R, il n'est pas irréductible, car comme α est racine, le polynôme X - α divise P. Une considération de degré montre que la décomposition en facteurs irréductibles de P, considéré comme un polynôme de L[X] s'écrit :

P = a_2(X-\alpha)(X-\beta)\quad\text{avec}\quad \beta \in \mathbb L

On a la relation classique, pour les racines des équations du second degré :

a_2^2(\alpha - \beta)^2 = -\delta^2\quad\text{et si } i_l = \frac {a_2(\alpha - \beta)}{\delta};\quad i_l^2 = -1\quad

Le R espace vectoriel engendré par la base (1, il) est une copie de C contenue dans L, ce qui montre le résultat recherché.

  • Le corps L est un copie de C :

On identifie maintenant l'espace vectoriel réel engendré par (1, il) à C, l'objectif est de montrer que L ne contient pas d'autres éléments que ceux inclus dans C. On peut maintenant considérer L comme un C espace vectoriel car c'est un corps contenant C. Il de dimension finie, comme R espace vectoriel, et donc il est aussi un espace vectoriel de dimension finie, comme C espace vectoriel. Soit γ un élément de L et (1, γ,  γ2, ...,  γm) une famille liée dans le C espace vectoriel L, on choisit encore m minimal. Le polynôme Q construit comme précédemment est irréductible sur C. Le théorème fondamental de l'arithmétique montre que Q est nécessairement de degré 1 car tout polynôme irréductible à coefficients dans C est de degré 1 (cf l'article Factorisation des polynômes). Ceci montre que γ est un élément de C, car racine d'une équation de degré 1 à coefficients dans C. Autrement dit, tout élément de L est un élément de C, ce qui termine la démonstration.

 

Équation algébrique

Article détaillé : Corps de décomposition.

L'arithmétique modulaire sur les polynômes apporte la structure de base d'une des branches de la théorie des équations, dont l'unique objet est la résolution des équations polynômiale. Soit P un polynôme à coefficients dans un corps K de degré supérieur ou égal à 1, on recherche un corps L contenant les racines de P.

Corps de décomposition — Il existe un corps L, contenant K dimension finie et contenant toutes les racines de P.

La plus petite extension vérifiant cette propriété est appelé corps de décomposition du polynôme P. Ce corps est un des ingrédients utilisé dans le cadre de la théorie de Galois pour déterminer exactement quelle équation polynômiale est résoluble par radicaux (cf l'article Théorème d'Abel (algèbre)).

Démonstration

Pour le démontrer, on raisonne par récurrence sur le degré n du polynôme. Si n est égal à 1, l'extension L est égale à K, supposons le résultat démontré pour tous les polynômes à coefficients dans une extension finie de K et de degré inférieur ou égal à n. Montrons que le résultat est vrai pour les polynômes de degré n + 1. Si la décomposition en facteur premiers du polynôme contient un polynôme Q1, de degré 1, il existe un polynôme R de degré n tel que P est égal à RQ1. Par hypothèse de récurrence, il existe une extension finie L de K dans laquelle la décomposition en facteurs irréductibles de R ne contienne que des polynômes de degré 1. Dans L le polynôme P est scindé.

Si ce n'est pas le cas, il existe un polynôme unitaire irréductible Q de degré strictement supérieur à 1 dans les facteurs irréductible de P et si R est le résultat de la division euclidienne de P par Q, alors P est égal à Q.R. Le polynôme Q est noté :

Q = q_0 + q_1X + \cdots q_mX^m\quad\text{avec}\quad q_m \neq 0

Considérons L1, le corps des congruences de K[X] modulo le polynôme irréductible Q et χ la congruence de l'indéterminée X modulo Q. On peut écrire la congruence de Q à l'aide de χ, qui est égal à 0 modulo Q on obtient :

q_0 + q_1\chi + \cdots q_m\chi^m = 0\,

La dernière égalité signifie que l'élément χ de L1 est une racine du polynôme Q, ou encore que dans L1[X], le polynôme X - χ divise Q, ce qui montre l'existence d'un polynôme S à coefficients dans L1 tel que Q = (X - χ).S, et le polynôme P s'écrit (X - χ).S.R. Le polynôme S.R à coefficients dans L1, une extension finie de K, est de degré n, ce qui montre l'existence d'une extension L de L1 tel que S.R soit scindé dans L. Autrement dit, le polynôme P, égal à (X - χ).S.R, est scindé dans L.

L'extension L1 est finie dans K et l'extension L est finie dans L1, ce qui montre que L est une extension finie de K (cf l'article extension algébrique). Ce qui termine la démonstration.

 

Corps fini

Article détaillé : corps fini.

Les congruences sur les anneaux sont la méthode principale d'étude des corps finis. Pour l'illustrer, considérons un nombre premier p strictement supérieur à 2 et recherchons un corps fini à p2 éléments. On considère dans un premier temps le corps Fp à p éléments, isomorphe à Z/pZ. Dans ce corps, la fonction polynôme, qui à x associe x2, n'est pas injective car x et -x ont la même image. Une application d'un ensemble fini dans lui-même qui n'est pas injective n'est pas surjective, et il existe une valeur a de Fp tel que le polynôme Pa égal à X2 - a soit irréductible.

Les congruences des polynômes de Fp modulo Pa forment un corps car Pa est irréductible. Si χ représente la classe de X modulo Pa, comme toute congruence possède comme représentant un polynôme de degré inférieur ou égal à 1, tout élément du corps des congruences est de la forme a + b.χ, avec a et b élément de Fp. On obtient bien un corps à p2 éléments.

L'article détaillé montre qu'il n'existe pas d'autres corps à p2 éléments à un isomorphisme près. Cette méthode se généralise et permet de construire tous les corps finis.

Anneau factoriel

Dans ce paragraphe A désigne un anneau factoriel, c'est-à-dire aussi non nul, commutatif unitaire et intègre. L'article Construction de l'anneau des polynômes montre que A[X] est toujours commutatif unitaire et intègre, cependant il n'est euclidien que si A est un corps (cf l'article Division d'un polynôme).

Lemme de Gauss

Articles détaillés : Lemme de Gauss (polynômes) et Anneau factoriel.

Cette fois ci, le groupe des unités de A[X] est plus restreint, il ne contient que les polynômes constants dont la constante est inversible dans A. Ainsi dans Z[X], l'anneau des polynômes à coefficients entiers les deux seuls polynômes inversibles sont 1 et -1. Dans ce cas, un polynôme constant non nul n'est pas nécessairement irréductible et le polynôme 6 n'est plus irréductible car il est égal à 2x3. Pour cette raison, on dit qu'un polynôme est primitif lorsque ses coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble. Comme A est un anneau commutatif unitaire et intègre, il est possible de construire son corps des fractions K, de la même manière que l'on construit Q le corps des fractions des entiers naturels. Un polynôme P de A[X] peut aussi être considéré comme un polynôme à coefficients dans K.

On dispose d'une première propriété, appelée lemme de Gauss uniquement dans le cas où l'anneau est égal à Z, mais vraie dans tous les anneaux factoriels :

Lemme de Gauss — Un polynôme de A[X] est irréductible si, et seulement si, il est primitif et irréductible dans K[X].

Pour montrer qu'un polynôme est irréductible dans Z[X], il suffit de vérifier que ses différents coefficients ne comportent aucun facteur commun et qu'il est irréductible dans Q[X].

Théorème

Une conséquence de ce lemme est le théorème :

Anneau factoriel — L'anneau A[X] est factoriel.

L'équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique est encore valable, au même titre que le lemme d'Euclide, mais l'identité de Bézout n'est plus vraie et l'anneau des polynômes n'est pas principal. Pour s'en rendre compte, on peut, par exemple considérer l'idéal engendré par l'indéterminée X et a, un élément non inversible de l'anneau A, il n'est pas principal. En conséquence, il n'existe pas de polynômes N et M de A[X] tel que N.X + a.M soit égal au polynôme constant 1, même si a et X sont deux polynômes premiers entre eux. Comme l'anneau n'est pas principal, il ne peut exister de division euclidienne.

Les démonstrations sont proposées dans l'article détaillé.

Usages de l'arithmétique de A[X]

Ces propriétés permettent parfois d'étudier la décomposition en facteurs premiers dans Q[X]. C'est le cas pour l'étude du polynôme cyclotomique, le lemme de Gauss permet de montrer que les facteurs irréductibles sont à coefficients dans Z, il devient possible de quotienter Z, l'anneau des coefficients, par p.Z où p est un nombre premier, et de conclure sur l'expression exacte des facteurs irréductibles des polynômes de la forme Xn - 1. Le lemme de Gauss peut être aussi utilisé pour démontrer le critère d'Eisenstein sur les polynômes à coefficients dans Z.

Une autre conséquence influe sur l'étude de la géométrie algébrique. Cette branche des mathématiques porte sur l'étude des variétés définies comme intersections des racines d'une famille (Pk) de polynômes en un nombre fini d'indéterminées sur un corps K. L'anneau K[X1, X2] est isomorphe à l'anneau de polynômes en une indéterminée à coefficients dans K[X1], qui est factoriel. Il est donc factoriel et une récurrence montre que K[X1, ..., Xn] l'est aussi.

Une variété algébrique peut encore être vue comme l'ensemble des points qui s'annulent sur l'idéal engendré la famille (Pk). Le caractère factoriel de l'anneau offre immédiatement des théorèmes sur les idéaux de l'anneau, offrant ainsi deux axes d'analyse, géométrique en étudiant la variété et algébrique en étudiant l'idéal. Le théorème de la base de Hilbert et le Nullstellensatz sont deux résultats géométriques sur les variétés qui découlent de l'étude de la structure des idéaux.

Références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes


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