Théorème de Sturm

Théorème de Sturm

Le théorème de Sturm permet de calculer le nombre de racines réelles distinctes d'une fonction polynôme comprises dans un intervalle donné. Ce théorème a été établi en 1829 par Charles Sturm.

Énoncé du théorème

Le nombre de racines réelles distinctes dans un intervalle [a,b] d'un polynôme à coefficients réels, dont a et b ne sont pas des racines, est égal à la différence du nombre de changements de signe de la suite de Sturm aux bornes de cet intervalle.

Suite de Sturm

La suite de Sturm ou chaîne de Sturm est construite à partir des polynômes P_0=P~ et de sa dérivée P_1=P^\prime

P=x^n + \ldots + a_1 x + a_0
P^\prime=nx^{n-1} + \ldots + a_1

Cette suite est la séquence de résultats intermédiaires que l'on obtient en appliquant l'algorithme d'Euclide à P_0~ et sa dérivée P_1~.

Pour obtenir cette suite on calcule :

\begin{matrix} P_0&=&P_1 Q_1 - P_2\\ P_1&=&P_2 Q_2 - P_3\\ &\ldots&\\ \end{matrix}

Les Pi sont donc les opposés des restes successifs de la division des deux termes précédents de la suite. Si P~ possède uniquement des racines distinctes, le dernier terme est une constante non nulle. Si ce terme est nul, P~ admet des racines multiples, et on peut dans ce cas appliquer le théorème de Sturm en utilisant la suite T_0, T_1, \ldots, T_{r-2}, 1 que l'on obtient en divisant les P_1, P_2, \ldots, P_{r-1}\ par\ P_{r-1}.

Si on note \sigma(\xi)~ le nombre de changements de signe (zéro n'est pas compté comme un changement de signe) dans la séquence

P(\xi), P_1(\xi), P_2(\xi),\ldots, P_r(\xi).

le théorème de Sturm nous dit que pour deux nombres réels a, b~, a<b~, a et b ne sont pas des racines de P, le nombre de racines dans l'intervalle [a,b]~ est :

\sigma(a)-\sigma(b)~.

On peut utiliser ce théorème pour calculer le nombre de racines réelles distinctes en choisissant de manière appropriée les bornes a~ et b~, par exemple toutes les racines réelles d'un polynôme sont dans l'intervalle [-M, M]~ avec :

M=\max(1, \sum |a_i|).

Références

  • Sur la résolution des équations numériques, par C. Sturm Sciences mathématiques et physiques, Tome VI Paris 1835 p 271-318

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Sturm de Wikipédia en français (auteurs)

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