Théorie des écoulements à potentiel de vitesse

En mécanique des fluides, la théorie des écoulements à potentiel de vitesse est une théorie des écoulements de fluide où la viscosité est négligée. Elle est très employée en hydrodynamique.

La théorie se propose de résoudre les Équations de Navier-Stokes dans les conditions suivantes:

le fluide est incompressible
le fluide est stationnaire
le fluide n'est pas visqueux
il n'y a pas d'action externe (flux de chaleur, électromagnétisme, gravité ...)

Sommaire

1 Équations
2 Solution
3 Résolution
4 Voir aussi
- 4.1 Article connexe
- 4.2 Liens externes

Équations

La formulation différentielle des Équations de Navier-Stokes en coordonnées cartésiennes est :

Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse) $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div} (\rho \vec{v}) = 0$

Équation de bilan de la quantité de mouvement $\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \operatorname{div} \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} (p) + \operatorname{div} (\overline{\overline {\tau}}) + \rho \vec{f}$

Équation de bilan de l'énergie $\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \operatorname{div} \left[ \; \left(\rho e + p\right) \vec{v} \; \right] = \operatorname{div} \left( \overline{\overline {\tau}} \cdot \vec{v} \right) + \rho \vec{f} \cdot \vec{v} - \operatorname{div} (\vec{\dot{q}}) + r$

Dans ces équations :

$t$ représente le temps (unité SI : $s$ ) ;
$ρ$ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : $\rm kg \cdot m^{-3}$ ) ;
$\vec{v} = ( v_1, v_2, v_3 )$ désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : $\rm m\cdot s^{-1}$ ) ;
$p$ désigne la pression (unité SI : $Pa$ ) ;
$\overline{\overline{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j}$ est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : $Pa$ ) ;
$\vec{f}$ désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : $\rm N \cdot kg^{-1}$ ) ;
$e$ est l'énergie totale par unité de masse (unité SI : $\rm J \cdot kg^{-1}$ ) ;
$\vec{\dot{q}}$ est le flux de chaleur perdu par conduction thermique (unité SI : $\rm J\cdot m^{-2} \cdot s^{-1}$ ) ;
$r$ représente la perte de chaleur volumique due au rayonnement (unité SI : $\rm J \cdot m^{-3} \cdot s^{-1}$ ).

Or dans notre cas :

le fluide est incompressible

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$

le fluide est stationnaire soit

$\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} = 0$ , $\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} = 0$ ,

le fluide n'est pas visqueux

$\ \overline{\overline {\tau}} =0$ ,

il n'y a pas d'action externe (flux de chaleur, électromagnétisme, gravité ...)

$\ f =0$ , $\ r =0$ , $\ q =0$ ...

d'où les équations se simplifient fortement :

$\operatorname{div} (\rho \vec{v}) = 0$
$\operatorname{div} \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} (p)$
$\operatorname{div} \left[ \; \left(\rho e + p\right) \vec{v} \; \right] = 0$

Avec les conditions au limite, le système d'équation est solvable. La première équation est indépendante des deux autres, il suffit de trouver une solution à cette équation $\operatorname{div} (\rho \vec{v}) = 0$ pour en suite déterminer les deux autres.

Comme $\ \rho$ est constant, alors l'équation est : $\operatorname{div} (\rho \vec{v}) = 0 \Leftrightarrow \operatorname{div} (\vec{v}) = 0$ .

Il est posé la fonction $\ \varphi$ tel que :

$\vec{v} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}~\varphi$

où $\ \vec{v}$ est le vecteur vitesse du fluide en un point de l'espace des Équations de Navier-Stokes.

L'équation prend la forme suivante :

$\ \operatorname{div} (\overrightarrow{\mathrm{grad}}~\varphi) = 0$

soit

$d^2 \varphi/dx^2 + d^2 \varphi/dy^2 + d^2 \varphi/dz^2 = 0~.$

sans oublier les conditions aux limites.

Soit, sous une autre notation : $\ \nabla \times \nabla \varphi = \mathbf{0}$ .

Solution

La solution de l’équation $\ \nabla \times \nabla \varphi = \mathbf{0}$ avec ses conditions aux limites a été donnée par George Green et s’écrit :

$4 \pi \varphi (M) = - \int \int_{S}^{} \frac{n.grad(\varphi)}{r} ds + \int \int_{S}^{} \frac {\varphi n.r}{r^3} ds$

avec

S est une surface qui est le bord du domaine dans lequel est plongé le profil (aile d'avion, voile de bateau...). Le domaine doit être suffisamment grand pour que le fluide se perturbe "tranquillement" autour du profil sans avoir des effets de bord du domaine notable. Un domaine de trois à quatre fois la dimension du profil est un minimum.
M(x,y,z) est un point à l’intérieur du volume limité par une surface fermée S (qui peut s’étendre à l’infini)
$\varphi$ et $g r a d (φ)$ étant nuls à l’extérieur de la surface S
n est le vecteur unitaire normal à S orienté vers l’intérieur
r = PM est le vecteur joignant un point courant P de la surface S au point M ou on exprime le potentiel $\varphi$ .

Résolution

Sauf pour des formes simples de profil, la résolution de l'équation est uniquement numérique. Du fait même que l'écoulement est considéré comme stationnaire, les résultats de calcul ne sont pas turbulents. Donc ce modèle n'est réaliste qu'à faible incidence. À forte incidence, la théorie diverge fortement de la réalité où le profil génère beaucoup de turbulences.

Voir aussi

Article connexe

Équation de Laplace

Théorie des profils minces

Liens externes

Théorie générale des écoulements à potentiel de vitesse sur air-et-terre.info
(en) Potential flow theory par A. H. Techet, du MIT
(en) Potential flow theory par Nuno Fonseca, de l'Instituto Superior Técnico
(en) Chanson Hubert, Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:191112, Boca Raton, CRC Press, Taylor & Francis Group, 2009, relié (ISBN 978-0-415-49271-3) (LCCN 2008051277)

Catégorie :

Mécanique des fluides

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