Somme de Gauss

Somme de Gauss
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En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, la somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini Z/pZ où p désigne un nombre premier impair et Z l'ensemble des entiers relatifs.

Elles sont introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss qui les utilise dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801.

Elles sont utilisées pour établir la théorie des polynômes cyclotomiques et possèdent de nombreuses applications.[réf. nécessaire] On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

Sommaire

Définition

Dans cet article, p désigne un nombre premier impair, Fp le corps fini isomorphe à Z/pZ, Fp* le groupe multiplicatif de ses éléments non nuls et ω désigne une racine primitive p-ième de l'unité, le caractère ψm désigne celui qui, à 1F associe ωm.

  • Soit ψ un caractère du groupe additif (Fp, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (Fp*, .), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par :
G(\chi ,\psi)=\sum_{\bar x \in F_p^*} \chi(x).\psi(x) \quad \text{et}\quad G(\chi ,\psi_n)= \sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \omega^{nk}

Pour une raison de simplicité, χ et ψ sont aussi considérés comme des fonctions définies sur Z l'anneau des entiers, avec la convention suivante :

\forall \bar x \in \mathbb F_p^*,\;\forall x\in \bar x \quad \chi(x) = \chi (\bar x)\;\text{et}\;\psi(x)=\psi(\bar x)\quad ; \quad \forall n \in\Z \quad \chi(np)=0\;\text{et}\;\psi(np)=\psi(\bar 0)=1

En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe \scriptstyle {G(\chi, \bar \psi)} comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 dans le groupe additif du corps et l'application qui à ψ associe \scriptstyle {G(\bar \chi, \psi)} comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à Fp* dans le groupe multiplicatif du corps.

Propriétés

L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss, ce paragraphe propose quelques exemples.

  • Si m est un entier premier avec p, alors l'égalité suivante est vérifiée :
\forall n \in\Z\quad G(\chi, \psi_{nm})=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) \;

Ici Z désigne l'ensemble des entiers naturels et si z est un nombre complexe \scriptstyle \bar z désigne son conjugué.

  • Si χ et ψ sont deux caractères différents du caractère constant égal à un, alors l'égalité suivante est vérifiée :
G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\chi(- 1)p \;

Cette propriété possède le corollaire suivant :

  • Si μ désigne le caractère multiplicatif égal à 1 sur les carrés de Fp* et -1 sinon, alors l'égalité suivante est vérifiée :
G(\mu, \psi_1)^2=\Big ( \frac {-1}p\Big ) p\;

Dans cet article, (-1/p) désigne le symbole de Legendre.

Démonstrations
  • Si m est un entier premier avec p, alors l'égalité suivante est vérifiée :
\forall n \in\Z \quad G(\chi, \psi_{nm})=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) \;

En effet, la définition d'une somme de Gauss implique les égalités suivantes :

G(\chi, \psi_{nm})= \sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \omega^{nmk} = \sum_{k=1}^{p-1} \chi(m)^{-1}\chi (mk) \omega^{nmk}\;

Utilisons le changement de variable suivant u = mk, on obtient :

G(\chi, \psi_{nm})= \sum_{u=1}^{p-1} \chi(m)^{-1}.\chi (u) \omega^{nu}=\chi (m^{-1})\sum_{u=1}^{p-1} \chi (u) \omega^{nu}=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) \;

Ce qui termine la démonstration.

  • Si χ et ψ sont deux caractères différents du caractère constant égal à un, alors l'égalité suivante est vérifiée :
G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\chi(- 1)p \;

En effet, la définition d'une somme de Gauss implique les égalités suivantes :

G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \psi(k).\sum_{l=1}^{p-1} \overline{\chi (l)} \psi(l) = \sum_{k,l \in [1, p-1]} \chi(k\lambda_l) \psi(k)\psi(l) \;

Ici, λl désigne l'entier compris entre un et p - 1 tel que l.λl est congru à un modulo p. Utilisons le changement de variable suivant u = k.λl, on obtient :

G(\chi, \psi).G(\bar\chi, \psi)=\sum_{u=1}^{p-1} \chi (u)\sum_{l=1}^{p-1}\psi(ul) \psi (l)

On remarque que l'application qui à la classe de l associe la valeur du caractère ψ pour la classe de ul est un caractère du groupe additif Fp. Si u est différent de l'unité, ce caractère est différent de ψ et donc lui est orthogonal car deux caractères distincts d'un groupe fini sont orthogonaux (cf caractère d'un groupe fini). On en déduit :

\text{Si} \quad u \ne p-1 \quad \sum_{l = 1}^p \psi(ul) \psi (l) = 0 \quad \text{sinon} \quad \sum_{l = 1}^p \psi(-l) \psi (l) =p \;

On en déduit, en limitant la somme à p - 1, les égalités suivantes :

\text{Si} \quad u \ne p-1 \quad \sum_{l = 1}^{p-1} \psi(ul) \psi (l) = -1 \quad \text{sinon} \quad \sum_{l = 1}^{p-1} \psi(-l) \psi (l) =p-1 \;

Ce qui démontre l'égalité suivante :

G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\sum_{u = 1}^{p-2} -\chi (u) + (p-1)\chi(-1)

De même, le caractère multiplicatif χ est orthogonal au caractère constant égal à 1, en conséquence :

\sum_{u = 1}^{p-1} \chi (u)= 0 \quad \text{et} \quad \sum_{u = 1}^{p-2} -\chi (u)=\chi (-1)

Ce qui démontre l'égalité suivante et termine la démonstration :

G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\chi(-1)p \;
  • Si μ désigne le caractère multiplicatif égal à 1 sur les carrés de Fp* et -1 sinon, alors l'égalité suivante est vérifiée :
G(\mu, \psi_1)^2=\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p \;

Comme μ est égal à son conjugué, la proposition précédente, montre que :

G(\mu, \psi_1)^2=G(\mu, \psi_1).G(\bar \mu, \psi_1)= \mu(-1) p =\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p \;

Applications

Somme quadratique de Gauss

L'exemple historique, publié par Gauss en 1801 est le suivant :

  • Si τp est la somme définie à la ligne suivante, alors τp2 est égal à (-1/p).p.
\tau_p=\sum_{k=1}^p exp(\frac {2 \pi i k^2}p)\quad alors \quad \tau_p^2 =\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p\;
Démonstration

Soit H le sous-groupe du groupe multiplicatif Fp* composé des résidus quadratiques de Fp*. Soit P1 la somme des caractères de ψ1 sur H et P2 la somme des caractères de ψ1 sur le complémentaire de H dans Fp*. L'égalité suivante est alors vérifiée :

P_1 + P_2 + 1 = \sum_{\bar k \in \mathbb F_p} \psi_1 (\bar k) \;

Or ψ1 est un caractère additif différent du caractère constant sur Fp, il lui est donc orthogonal, on en déduit :

\sum_{\bar k \in \mathbb F_p} \psi_1 (\bar k) = 0 \quad et \quad -P_2 = P_1 + 1 \;

La valeur G(μ, ψ1) de la dernière proposition du paragraphe précédent s'exprime de la manière suivante :

G(\mu, \psi_1) = P_1 - P_2 = 1 + 2 P_1\;

Enfin, l'application de Fp* dans H qui à la classe de x associe la classe de x2 est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents, en conséquence :

\tau_p = \sum_{k=1}^p exp(\frac {2 \pi i k^2}p) = 1 + \sum_{k= 1}^{p -1} \omega^{k^2} = 1 + \sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \psi (\bar k^2) = 1 + 2 \sum_{\bar h \in H} \psi (\bar h) = 1 + 2 P_1 = G(\mu, \psi_1) \;

La dernière proposition du paragraphe précédent termine la démonstration.

Loi de réciprocité quadratique

Article détaillé : Loi de réciprocité quadratique.

La loi s'exprime de la manière suivante si q est aussi un nombre premier impair distinct de p :

\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}

Elle se démontre à l'aide de la somme quadratique de Gauss et des propriétés des sommes.

Démonstration

Considérons l'anneau des entiers algébriques Z[ω]. Il contient τp, calculons alors τpq modulo q dans Z[ω].

\tau_p^q=\Big (\sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \mu(\bar k) \psi_1(\bar k)\Big)^q \;

La formule du binôme de Newton, et les diviseurs des coefficients binomiaux montrent que :

\tau_p^q \equiv \sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \mu(\bar k)^q \psi_1(\bar k)^q \equiv \sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \mu(\bar k) \psi_q(\bar k) \equiv G(\mu,\psi_q) \pmod q \;

La première proposition décrite dans les propriétés des sommes de Gauss montre que :

\tau_p^q \equiv G(\mu,\psi_q) \equiv \mu(q)G(\mu,\psi_1) \equiv \mu(q)\tau_p \pmod q \;

Les propriétés du symbole de Legendre montre aussi que :

\tau_p^q = (\tau_p^2)^{\frac {q-1}{2}}\tau_p = \left( \left( \frac {-1}{p} \right).p \right)^{\frac {q-1}{2}}\tau_p = \left( (-1)^{\frac {p-1}{2}}p\right)^{\frac {q-1}{2}}\tau_p = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\tau_p \;

On en déduit l'égalité :

\mu(q)\tau_p \equiv (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\tau_p \pmod q \;

En multipliant par τp les deux termes de l'égalité et en divisant par p, on obtient :

\left( \frac qp \right) \equiv (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}} \equiv (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}\left( \frac pq \right) \pmod q \;

On remarque alors que l'égalité précédente est un produit de facteurs égaux à 1 ou -1, l'égalité précédente est donc aussi une égalité dans Z/qZ et aussi dans Z, on en déduit :

\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}

Ce qui termine la démonstration.

Références


Liens externes

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