- Cône tangent
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En mathématiques, le cône tangent est l'approximation au premier ordre d'un ensemble en un point, comme l'application dérivée d'une fonction est son approximation au premier ordre en un point. Cette notion est, par exemple, utilisée en optimisation pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre.
Sommaire
Notations
On note
l'ensemble des nombres réels, tandis que l'ensemble des nombres réels positifs et celui des nombres réels strictement positifs sont respectivement notés
0\}. " border="0">
Si
et P est une partie d'un espace vectoriel
sur
, on note
Lorsque
, on utilise la notation simpifiée Λx: = Λ{x}.
Une partie K d'un espace vectoriel sur
est un cône si
.
Cône radial
Soient
un espace vectoriel sur
X une partie de
et x un point de
.
Cône radial — Le cône radial de X en
est le cône défini par
pour tout réel t > 0 petit}.
Cônes tangent et normal au sens de Bouligand
Cône tangent
Soient
un espace vectoriel topologique sur
, X une partie de
et x un point de
.
Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, le calcul des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le cône radial comme cône tangent à X en x. En effet, le cône radial à un cercle de
est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas avec cette notion, celle des directions tangentes qui nous est familière. Une possibilité est de s'y prendre comme suit. La notation
signifie que les réels tk tendent vers zéro par des valeurs strictement positives.
Direction tangente au sens de Bouligand — On dit que
est une direction tangente (au sens de Bouligand[1]) à
en
s'il existe des suites
et
telles que
Cône tangent au sens de Bouligand — Le cône tangent (au sens de Bouligand) à
en
est l'ensemble des directions tangentes (au sens de Bouligand) à X en x. On le note TxX (notation de la géométrie différentielle) ou TX(x) (notation de l'analyse convexe).
La définition de direction tangente précédente est la plus opérationnelle, celle qui est la plus utilisée, mais elle n'est pas facile à interpréter. En faisant jouer le rôle principal aux directions dk: = (xk − x) / tk, on montre aisément qu'il revient au même de dire que
si, et seulement si, il existe des suites
et
telles que
Autrement dit, d est tangente à X en x s'il existe une suite de directions
convergeant vers d, telles que
rencontre X en des points de plus en plus proche de x lorsque
.
Cône normal
Pour définir le cône normal, on a besoin d'un produit scalaire sur
. On suppose donc que
est un espace hilbertien et on note
son produit scalaire.
Vecteur normal, cône normal — On dit que
est normal à
en
si
On note NxX ou NX(x) l'ensemble des vecteurs normaux à X en x et on l'appelle le cône normal.
Le cône normal est donc le cône dual négatif du cône tangent : NxX = (TxX) − . Par conséquent, il s'agit d'un cône convexe fermé (on verra que le cône tangent n'est pas, quant à lui, nécessairement convexe).
Pour un ensemble convexe, le cône normal est en généralement défini de manière différente, mais équivalente.
Cône normal à un convexe — Si C est un convexe de
son cône normal en
peut aussi s'écrire
Par ailleurs, pour un ensemble convexe dans un espace euclidien (donc de dimension finie), le cône normal en un point de la frontière relative n'est pas réduit à l'élément nul. Ci-dessous, la frontière relative de l'ensemble C est notée
.
Cône normal à un convexe — Soient C est un convexe d'un espace euclidien
et
le sous-espace vectoriel associé à l'enveloppe affine
de C. Alors,
contient un élément non nul.
Propriétés
Voici quelques propriétés du cône tangent, que nous donnons dans le cas où
est de dimension finie. Elles utilisent les notations et concepts suivants :
l'adhérence de X (aussi notée
),
l'intérieur de X (aussi noté
),
l'enveloppe affine de X,
l'intérieur relatif de X (aussi noté
).
On rappelle que
est le sous-espace vectoriel associé au sous-espace affine
.
Propriétés du cône tangent — Soient
un espace vectoriel de dimension finie, X une partie de
et
.
Dans le cas où l'ensemble est convexe, on peut relier le cône radial au cône tangent et donner quelques propriétés supplémentaires de ce dernier.
Cône tangent à un ensemble convexe — Soit x un point dans l'adhérence d'un convexe C d'un espace vectoriel de dimension finie
Alors
Si X n'est pas convexe, TxX n'est pas nécessairement convexe, comme le montre l'exemple suivant :
En effet, T0X = X, qui n'est pas convexe.
Exemples
Polyèdre convexe
Soit P un polyèdre convexe de
, que l'on suppose donné comme une intersection d'un nombre fini de demi-espaces :
où A est une matrice de type
et l'inégalité est entendue composante par composante :
pour tout
On note pour un point
:
Alors les cônes tangent et normal en
s'écrivent
où
est le vecteur formé par la ligne i de A et "
" désigne l'opérateur qui prend l'enveloppe conique-convexe d'un ensemble (le plus petit cône convexe contenant l'ensemble).
Cône des matrices semi-définies positives
On note
l'ensemble des matrices symétriques d'ordre n dont les éléments sont réels,
le cône de
formé des matrices semi-définies positives et
le cône de
formé des matrices semi-définies négatives. L'espace vectoriel
est muni du produit scalaire
où
désigne la trace. On note
le noyau de
.
Les cônes tangent et normal à
en
s'écrivent
, pour tout
Qualification de contraintes
Un ensemble peut être représenté au moyen de fonctions. Par exemple, on peut utiliser des contraintes d'égalité et d'inégalité comme ci-dessous
où les contraintes d'égalité sont définies au moyen de la fonction
et les contraintes d'inégalité sont définies au moyen de la fonction
. L'inégalité vectorielle
doit ici être entendue composante par composante. On note E l'ensemble des indices des contraintes d'égalité, qui s'écrivent donc aussi ci(x) = 0 pour tout indice
. De même pour l'ensemble I des contraintes d'inégalité.
Se pose alors la question de savoir calculer le cône tangent en un point x à partir des dérivées premières des fonctions cE et cI en x.
Il est naturel de s'intéresser à l'expression suivante obtenue en linéarisant les fonctions cE et cI en x :
où on a noté
On peut montrer que, sous des hypothèses raisonnables, on a toujours
On aimerait avoir égalité pour pouvoir calculer le cône tangent par une formule explicite, mais cette égalité n'est pas toujours vérifiée. On dit que les contraintes (on devrait dire les fonctions définissant les contraintes) cE et cI sont qualifiées en x si TxX = T'xX. Comme TxX ne dépendant que de l'ensemble X, pas des fonctions cE et cI, il s'agit d'une notion assurant que la représentation de X par cE et cI convient.
Ces questions sont davantage développées dans l'article Qualification de contraintes.
Annexes
Notes
- G. Bouligand (1932), Introduction à la Géométrie Infinitésimale Directe, Gauthier- Villars, Paris.
Articles connexes
- Conditions d'optimalité (dimension finie) où le cône tangent est utilisé pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre des problèmes d'optimisation de dimension finie.
- Qualification de contraintes
Lien externe
- J. Ch. Gilbert, Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes, syllabus de cours à l'ENSTA ParisTech, Paris.
Bibliographie
- (en) J. F. Bonnans, A. Shapiro (2000). Perturbation Analysis of Optimization Problems. Springer Verlag, New York.
- J.-B. Hiriart-Urruty (1996). L’Optimisation. Que sais-je, n° 3184. Presses Universitaires de France.
- (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 305-306. Springer-Verlag.
- (en) R. T. Rockafellar (1993). Lagrange multipliers and optimality. SIAM Review, 35, 183– 238.
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