Polyèdre

Polyèdre

Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes polygonales qui se rencontrent selon des segments de droite qu'on appelle arêtes.

Le mot « polyèdre »[1] provient du grec classique πολύεδρον (polyedron) - [de poly-, racine de πολύς, « beaucoup », + ἕδρα (hedra), « base », « siège » ou « face »]. C'est un solide.

Un polyèdre particulier en dimension 3 : le dodécaèdre régulier

Sommaire

Historique

Les pyramides

Comme beaucoup d'autres concepts, la notion de polyèdre a été formellement introduite par les Grecs. Leur étude occupe une place tout à fait significative dans les Éléments d'Euclide et a, pour ce qui est des mathématiques, constitué l'une des préoccupations importantes de Platon.

Il suffit cependant de contempler les pyramides pour réaliser que cette notion est perçue depuis des temps encore plus anciens et, à y réfléchir, probablement depuis des temps immémoriaux.

Après Platon, Euclide, et Archimède dans l'Antiquité, l'étude des polyèdres a occupé nombre de bons esprits des temps modernes, et notamment ceux de Kepler, Euler, Poincaré, Hilbert etc.

Définition

La définition donnée en introduction peut sembler suffisamment claire pour la plupart d'entre nous. Elle ne l'est pas pour un mathématicien[2]. Aussi étrange que cela puisse paraître, dans la mesure où le concept de polyèdre ne fait pas référence à la dimension de l'espace dans lequel il se trouve, il n'existe pas de définition universellement agréée sur ce qui fait que "quelque chose" soit un polyèdre (le cœur du problème vient de ce que la notion intuitive de polyèdre n'est pas exactement la même selon qu'on a dans l'idée une surface ou un volume).

Afin d'obvier cette difficulté, on est conduit à introduire la notion de simplexe. On peut la considérer comme équivalente à celle de polyèdre en dimension 3, et elle permet des généralisations aux dimensions supérieures. Un polyèdre P de dimension p est alors la réunion d'un ensemble fini de simplexes Si de dimension  q_i \le p  tel que chacune des d-faces ( d \le q_i  ) d'un simplexe Si est un élément de P et tel que pour tout couple de simplexe Si, Sj l'intersection  S_i \cap S_j  est soit vide soit une (d-1)-face commune à Si et Sj.

Ainsi un simplexe représente-t-il une définition généralisable de la notion intuitive de polyèdre :

Il est la réunion de ses d-faces et l'intersection de deux d-faces quelconques d'un simplexe est soit vide soit une face de dimension d − 1.

Par exemple, un triangle, qui est un 2-simplexe, est la réunion de segments et l'intersection de deux segments adjacents est un point qui est un sommet du triangle.

Un polyèdre apparait ainsi comme construit à partir de différentes sortes d'éléments ou d'entités, présentant un nombre différent de dimensions :

  • 3 dimensions : le corps est limité par les faces, et correspond habituellement au volume compris à l'intérieur.
  • 2 dimensions : une face est limité par un circuit d'arête, et est habituellement une région plane appelée un polygone. Les faces mises ensemble forment la surface polyédrique.
  • 1 dimension : une arête joint un sommet à un autre et une face à une autre, et est habituellement une droite d'une certaine sorte. Les arêtes mises ensemble forment le squelette polyédrique.
  • 0 dimension : un sommet est un point de coin.
  • -1 dimension : la nullité est une sorte de non-entité requise par les théories abstraites.[réf. souhaitée]

Plus généralement en mathématiques et dans d'autres disciplines, le terme « polyèdre » est utilisé pour faire référence à une variété de constructions reliées, certaines géométriques et d'autres purement algébriques ou abstraites.

En particulier, un polytope est un polyèdre convexe et borné.

Dans Computational geometry : an introduction, de Preparata et Shamos, les auteurs définissent les polyèdres par un ensemble fini de polygones planaires tels que chaque arête d’un polygone est partagée par un seul autre polygone, et aucun autre sous-ensemble des polygones ne possède cette propriété. Cette définition implique des contraintes strictes : par exemple, les polyèdres ne doivent pas présenter d’autointersections.

Propriétés caractéristiques

Nomenclature

Les polyèdres sont en général nommés selon leur nombre de faces. La nomenclature est basée sur le grec classique. On a ainsi, par exemple : tétraèdre (4 faces), pentaèdre (5 faces), hexaèdre (6 faces), heptaèdre (en) (7 faces), triacontaèdre (30 faces), et ainsi de suite. Cette méthode de désignation a son équivalent dans la nomenclature des polygones[3].

Arêtes

Les arêtes ont deux caractéristiques importantes (à moins que le polyèdre ne soit complexe) :

  • une arête joint simplement deux sommets ;
  • une arête joint simplement deux faces.

Ces deux caractéristiques sont duales.

Convexité

Un polyèdre est dit convexe si tout point de tout segment joignant deux points quelconques du polyèdre appartient au polyèdre. Autrement dit, un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur. Il est possible de donner une définition barycentrique d'un tel polyèdre : Soit A1, A2, \cdots, An, n points non coplanaires ; le polyèdre convexe A_1A_2{\cdots}A_n est l'ensemble des points M barycentres de : A1, A2, \cdots, An affectés de coefficients α1, α2, \cdots, αn où chaque αi est positif.

Caractéristique d'Euler

Soit un polyèdre convexe. Si l'on note :

  • f son nombre de faces,
  • a son nombre d'arêtes,
  • s son nombre de sommets,

on a toujours la relation d'Euler :

fa + s = 2.

Ce nombre est noté χ.

Dualité

Dual Cube-Octahedron.svg

Pour chaque polyèdre, il existe un polyèdre dual ayant des faces à la place des sommets originaux et vice versa. Dans la plupart des cas, le dual peut être obtenu par le processus de réciprocité sphérique. Le dual d'un polyèdre régulier s'obtient en reliant les centres des faces adjacentes.

Polyèdres simples

Un petit rhombicosidodécaèdre

Un polyèdre est une forme tridimensionnelle qui se compose d'un nombre fini de faces polygonales qui sont des parties de plans; les faces se rencontrent le long des arêtes qui sont des segments de droite, et les arêtes se rencontrent aux points nommés sommets. Les cubes, les prismes et les pyramides sont des exemples de polyèdres.

Le plus souvent, le polyèdre délimite un volume limité de l'espace à trois dimensions; quelquefois ce volume intérieur est considéré être une partie du polyèdre, quelquefois, seule la surface est considérée. Les polyèdres traditionnels incluent les cinq polyèdres convexes réguliers que l'on nomme les solides de Platon : le tétraèdre (4 faces), le cube (ou hexaèdre) (6 faces), l'octaèdre (8 faces), le dodécaèdre régulier (12 faces) et l'icosaèdre (20 faces). Les autres polyèdres traditionnels sont les quatre polyèdres non convexes réguliers (les solides de Kepler-Poinsot), les treize solides d'Archimède convexes et les 53 polyèdres uniformes restants.

Plus petit polyèdre

Un polyèdre possède au moins 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Le plus petit polyèdre est le tétraèdre.

Les polyèdres symétriques

On peut définir diverses classes de polyèdres présentant des symétries particulières :

  • arête uniforme (en) : si toutes les arêtes sont les mêmes, au sens où pour deux arêtes quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ;
  • face uniforme (en) : si toutes les faces sont les mêmes, au sens où pour deux faces quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième ;
  • quasi-régulier : si le polyèdre est d'arête uniforme mais pas soit de face uniforme ou de sommet uniforme ;
  • semi-régulier : si le polyèdre est de sommet uniforme mais pas de face uniforme et chaque face est un polygone régulier. (c'est une des nombreuses définitions du terme, dépendant de l'auteur, qui chevauchent la catégorie quasi-régulière) ;
  • régulier : si le polyèdre est de sommet uniforme, d'arête uniforme et de face uniforme. (l'uniformité des sommets et l'uniformité des arêtes combinées implique que les faces sont régulières) ;
  • uniforme : si le polyèdre est de sommet uniforme et chaque face est un polygone régulier, i.e. il est régulier ou semi-régulier.

On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des prismes et des antiprismes.

Bien sûr, il est facile de tordre de tels polyèdres, de telle façon qu'ils ne sont plus symétriques. Mais, lorsqu'un nom de polyèdre est donné, tel que l'icosidodécaèdre, la géométrie la plus symétrique est toujours impliquée, sauf indication contraire.

Les groupes de symétrie polyédriques sont tous des groupes ponctuels et incluent :


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