- Polyedre quasi-regulier
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Polyèdre quasi-régulier
Sommaire
Définition
Un polyèdre qui possède des faces régulières et qui est transitif sur ses arêtes est dit être quasi-régulier.
Un polyèdre quasi-régulier peut avoir des faces de deux sortes seulement et celles-ci doivent alterner autour de chaque sommet.
On donne un symbole de Schläfli vertical
pour représenter cette forme combinée qui contient les faces combinées du polyèdre régulier {p,q} et du dual {q,p}. Un polyèdre quasi-régulier avec ce symbole aura une configuration de sommet p.q.p.q.Les polyèdres quasi-réguliers convexes
Il existe trois polyèdres quasi-réguliers convexes :
- L'octaèdre, qui est aussi un polyèdre régulier,
, configuration de sommet 3.3.3.3. - Le cuboctaèdre
, configuration de sommet 3.4.3.4. - L'icosidodécaèdre
, configuration de sommet 3.5.3.5.
Chacun d'entre eux forme le noyau commun d'une paire duale de polyèdres réguliers. Les noms des deux derniers listés donnes des indices pour la paire duale associée, respectivement le cube + l'octaèdre et l'icosaèdre + le dodécaèdre. L'octaèdre est le noyau d'une paire duale de tétraèdres (un arrangement connu sous le nom octangle étoilé), et lorsqu'il est dérivé de cette manière, il est quelquefois appelé le tétratétraèdre.
Les duaux quasi-réguliers sont aussi caractérisés par leurs faces rhombiques.Régulier Dual régulier Quasi-régulier Dual Quasi-régulier 
Tétraèdre
{3,3}
Tétraèdre
{3,3}
Tétratétraèdre
3.3.3.3
Tétratétraèdre
3.3.3.3
Cube
{4,3}
Octaèdre
{3,4}
Cuboctaèdre
3.4.3.4
Dodécaèdre rhombique
4.3.4.3
Dodécaèdre
{5,3}
Icosaèdre
{3,5}
Icosidodécaèdre
3.5.3.5
Triacontaèdre rhombique
5.3.5.3Chacun de ces polyèdres quasi-réguliers peut être construit par une opération de rectification sur le parent régulier, en tronquant pleinement les arêtes, jusqu'à ce que les arêtes originales soient réduites à un point.
Exemples non-convexes
Coxeter, H.S.M. et.al. (1954) ont classé aussi certains polyèdres étoilés ayant les mêmes caractéristiques et étant quasi-réguliers :
- Deux sont basés sur les solides de Kepler-Poinsot réguliers, de la même manière que les exemples convexes :
- Le grand icosidodécaèdre
- En combinant le grand icosaèdre et le grand dodécaèdre étoilé. - Le dodécadodécaèdre
- En combinant le grand dodécaèdre et le petit dodécaèdre étoilé.
- Le grand icosidodécaèdre
Régulier Dual régulier Quasi-régulier 
Grand icosaèdre
Grand dodécaèdre étoilé
Grand icosidodécaèdre
Grand dodécaèdre
Petit dodécaèdre étoilé
Dodécadodécaèdre- Trois formes ditrigonales, dont les figures de sommet contiennent trois alternements de deux types de faces :
Dodécadodécaèdre ditrigonal Petit icosidodécaèdre ditrigonal Grand icosidodécaèdre ditrigonal 
Duaux quasi-réguliers
Certaines autorités font remarquer que, puisque les duaux des solides quasi-réguliers partagent les mêmes symétries, ces duaux doivent être aussi quasi-réguliers. Mais tout le monde n'accepte pas ce point de vue. Ces duaux ont des sommets réguliers et sont transitifs sur leurs arêtes. Ils sont, en ordre correspondant avec ci-dessus :
- Le dodécaèdre rhombique
- Le triacontaèdre rhombique
- Le cube, qui est aussi un polyèdre régulier
Les duaux quasi-réguliers sont aussi caractérisés par leurs faces rhombiques.
Voir aussi
- Le pavage trihexagonal - Un pavage quasi-régulier basé sur le pavage triangulaire et le pavage hexagonal
Références
- Coxeter, H.S.M. Longuet-Higgins, M.S. and Miller, J.C.P. Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), pp. 401-450.
- Cromwell, P. Polyhedra, Cambridge University Press (1977).
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