Sommet uniforme

Pour les articles homonymes, voir Isogonal.

Exemple : Un cuboctaèdre tronqué isogonal, construit à partir d'un cube aux arêtes chanfreinnés et aux sommets tronqués.

En géométrie, un polytope (un polygone ou un polyhèdre, par exemple) est dit isogonal si tous ses sommets sont identiques. Autrement dit, chaque sommet est entouré du même type de face dans le même ordre et avec les mêmes angles entre les faces correspondantes.

Techniquement, pour un couple quelconque de sommets il existe une symétrie faisant correspondre le premier au second de manière isométrique.

Polygone isogonal

Un exemple d'octogone isogonal.

Tous les polygones réguliers and polygones en étoile réguliers saont isogonaux.

Certains polygones avec deux longueurs de côtés différentes, comme par exemple le rectangle, sont isogonaux.

Tous les polygones similaires à 2n côtés présentent une symmetrie dihédrale (D_n, n=2,3,...) avec des axes de symétries reliant les milieux des côtés.

Polyèdre isogonal

Les polyèdres isogonaux peuvent être classés en :

• Régulier si il est également isoèdral et isotoxal ; ceci implique que chaque face soit un même polygone régulier.
• Quasi-régulier si il est également isotoxal mais non isoèdral.
• Semi-regulier si chaque face est un polygone régulier mais que le polyèdre n'est ni isoèdral ni isotoxal.
• Uniforme si chaque face est un polygone régulier, c'est-à-dire que le polyèdre est régulier, quasi-régulier ou semi-régulier.
• Noble si il est également isoèdral.

Un polyèdre isogonal est un cas particulier de figure de sommet. Si les faces sont régulières (et que donc le polyèdre est uniforme) il peut être représenté par une conguration de sommets indiquant la suite des faces autour de chaque sommet.

Polytopes isogonal et tessellations

Cette définition peut être étendue aux polytopes et aux tessellations. Plus généralement, les polytopes uniformes sont isogonaux, par exemple, les polychorons uniformes et les Nids d'abeille uniforme convexes.

Le dual d'un polytope isogonal est appelé isotope.

Figures k-isogonales

Un polytope est dit k-isogonal si ses sommets formes des classes k-transitives.

Ce dodécaèdre rhombique tronqué est 2-isogonal car il contient 2 classes de transitivité de sommets. Ce polyèdre est formé de carrés et d'hexagones aplatis.

Ce pavage semi-régulier est également2-isogonal. Il est constitué de triangle équilatéraux, de carrés et d'hexagones réguliers.

Références

• Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, 1997, 451 p. ISBN 9780521664059. (P. 369 Transitivity).
• (en) Grünbaum, Branko; Shephard, G. C., Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Company, 1987  (p. 33 k-isogonal tiling, p.65 k-uniform tilings)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Vertex-transitive graph, MathWorld.
• (en) Olshevsky, George, Transitivity sur Glossary for Hyperspace.
• (en) Olshevsky, George, Isogonal sur Glossary for Hyperspace.
• Isogonal Kaleidoscopical Polyhedra Vladimir L. Bulatov, Physics Department, Oregon State University, Corvallis, Presented at Mosaic2000, Millennial Open Symposium on the Arts and Interdisciplinary Computing, 21-24 August, 2000, Seattle, WA
• Steven Dutch uses the term k-uniform for enumerating k-isogonal tilings
• List of n-uniform tilings
• (en) Eric W. Weisstein, Demiregular tessellations, MathWorld. (Also uses term k-uniform for k-isogonal)

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