Groupe Ponctuel De Symétrie

Un groupe ponctuel de symétrie, que les mathématiciens appellent groupe orthogonal, est composé des isométries, c'est-à-dire les applications linéaires laissant invariants les distances et les angles.

Sommaire 1 Cristallographie 2 Mathématiques 3 Opérations de symétrie et chiralité 4 Éléments de symétrie 5 Groupes ponctuels cristallographiques 6 Conventions de lecture de la notation d’Hermann-Mauguin : directions de symétrie 6.1 Exemples 7 Groupes isomorphes 8 Voir aussi 8.1 Articles connexes

Cristallographie

En cristallographie, un groupe ponctuel contient les opérations de symétrie qui laissent invariants la morphologie d’un cristal et ses propriétés physiques (la symétrie de la structure atomique d’un cristal est décrite par les groupes d’espace). Ils sont classés en groupes holoèdres et mérièdres, selon qu’ils décrivent la symétrie complète du réseau ou qu’ils soient des sous-groupes de ceux-ci. L'existence d'un réseau périodique comporte des restrictions sur l'ordre des rotations, qui en deux et trois dimensions sont limitées aux valeurs 2π/6, 2π/4, 2π/3, 2π/2 et 2π alors que ces restrictions ne s'appliquent pas aux objets non périodiques comme les molécules.

Cette question relève d'un problème mathématique plus général. Les termes utilisés sont un peu différents. Il correspond à l'analyse du groupe orthogonal d'un réseau. Un réseau est l'équivalent d'un espace vectoriel, à la différence que les scalaires sont les nombres entiers et non pas des éléments d'un corps. Le groupe orthogonal est le groupe des applications linéaires laissant les distances et les angles.

Mathématiques

En mathématiques l'explicitation d'un groupe orthogonal est une question largement étudiée. Un réseau est un quasi espace vectoriel, avec comme unique différence que les scalaires sont des nombres entiers. Cette analogie permet d'établir des théorèmes communs. Par exemple, à l'image de son cousin vectoriel, un réseau admet une base et tout point du réseau peut être repéré par un jeu de coordonnées, cette fois à valeurs entières.

Un point du réseau est identifié à un vecteur, et l'image de deux vecteurs par une isométrie est formée de deux vecteurs de même longueur et l'angle défini par les deux vecteurs initiaux est le même que celui des deux vecteurs images. Dans un espace vectoriel, et en dimension 2 ou 3, il n'existe que deux cas possibles les rotations autour d'un axe et les réflexions, à l'image que ce que donnerait un miroir placé sur le point origine. Cette définition est valable aussi bien pour les espaces vectoriels que pour les réseaux.

Les groupes orthogonaux sont néanmoins bien différents dans les deux cas. Dans le plan, les rotations sont aussi nombreuses que les points d'un cercle, elles sont en nombre infini. L'image d'un point d'un réseau par une isométrie est un point du réseau de même longueur. Il n'existe qu'un nombre fini de points de cette nature. Le groupe orthogonal d'un réseau, quelle que soit sa dimension, est toujours fini.

Dans le cas de la dimension 2, déterminer tous les groupes orthogonaux possibles est suffisamment simple pour pouvoir être fait avec des outils rudimentaires issus de l'algèbre linéaire. Il n'existe que 4 configurations possible et la plus vaste est décrite par un groupe à 12 éléments. En dimension 3, la question devient un peu plus ardue, le groupe le plus vaste contient déjà 48 éléments. S'il est possible de résoudre la difficulté avec les outils élémentaires, à l'image des travaux d'Auguste Bravais au milieu du XIX^e siècle, une autre approche simplifie la tâche.

Le groupe orthogonal possède des propriétés algébriques. La composée de deux isométries, à savoir l'application de la première appliquée à la seconde, est encore une isométrie. Il en est de même pour la réciproque d'une isométrie et enfin, la loi de composition des applications linéaires est dite associative. Une telle structure, appelée groupe, est à l'origine d'une vaste théorie mathématique. Une de ses branches, dénommée théorie des représentations d'un groupe fini est particulièrement efficace pour répondre aux questions de la nature de celles traitées ici. L'article détaillé fait usage des techniques élémentaires de l'algèbre linéaire pour expliciter la structure du groupe orthogonal en dimension 2 et de celles de la représentation des groupes pour la dimension 3.

Opérations de symétrie et chiralité

Les opérations ponctuelles sont de deux types :

• opérations de première espèce, qui ne changent pas la chiralité de l’objet sur lequel agissent ; il s’agit de rotations pures (Figure 1).
• opérations de seconde espèce, qui changent la chiralité de l’objet sur lequel agissent ; il s’agit de roto-inversions, opérations composées d’une rotation suivie d’une inversion (Figure 2) par rapport à un point géométrique dit centre d’inversion.

À chaque opération de première espèce on peut associer une opération de seconde espèce qui transforme le barycentre de l’objet comme l’opération de première espèce qui lui est associée. Lorsque l’objet n'est pas chiral, le résultat de l’application de ces deux opérations de symétrie est identique.

Note : dans des espaces à plus de 3 dimensions (non utilisés en cristallographie), de nouvelles espèces apparaissent où la chiralité est conservée dans une partie des dimensions mais inversée dans une autre partie : il s’agit de symétries "partielles" par rapport à un plan ou tout sous-espace possédant au moins 2 dimensions en moins par rapport à l’espace d’origine, ces symétries partielles pouvant se combiner sans nécessairement rétablie la chiralité d’origine mais en donnant des opérations d’autres espèces. Leur ordre de combinaison est alors important, les opérations n’étant pas nécessairement symétriques (ni même nécessairement associatives dans les espaces non euclidiens).

Une rotation de 2π / n (Figure 1) est indiquée par dans la notation de Hermann-Mauguin, ou par C_n dans la notation de Schoenflies.

• n représente le nombre de fois où la rotation doit être appliquée pour retrouver la situation d’origine.
• Dans un cristal, à cause de la périodicité de la structure, exprimée par son réseau, les valeurs de n sont limitées à 1, 2, 3, 4 et 6 (dans les espaces à deux et trois dimensions), qui correspondent aux rotations qui permettent un pavage périodique infini de l’espace.

Une roto-inversion d’ordre n est indiquée par .

• En chimie, on utilise plus fréquemment les roto-réflexions que les roto-inversions. Ces opérations sont composées d’une rotation suivie d’une réflexion par rapport à un plan perpendiculaire à l’axe de rotation. À chaque roto-réflexion correspond une roto-inversion et vice-versa. Les roto-réflexions sont indiquées par en notation d’Hermann-Mauguin, ou par S_n dans la notation de Schoenflies.
• est l’inversion pure.
• correspond à une rotation de suivie d’une inversion (Figure 3), ce qui est équivalent à une réflexion par rapport à un plane perpendiculaire à l’axe (Figure 4). Cette opération est plus fréquemment indiquée comme , réflexion par rapport à un miroir.

Les opérations de symétrie ponctuelle sont finalement classées de la manière suivante :

• les rotations pures, qui sont notées par  ;
• les réflexions. qui sont des symétries orthogonales à un plan (voir Figure 4), sont notées par la lettre (comme miroir) ;
• l’inversion, qui est une symétrie par rapport à un point, ou centre d’inversion (voir Figure 2), est notée (Hermann-Mauguin), i, ou C_i (Schoenflies) ;
• des roto-inversions, qui sont des opérations composées d’une rotation suivie d’une inversion, sont notées par , où n est la composante de rotation.

Éléments de symétrie

Les points invariants lors d’une opération de symétrie sont les points constitutifs de l’élément de symétrie par rapport auquel cette opération est effectuée : le plan de symétrie, l’axe de rotation et le centre de symétrie. Pour qu’un point de l’espace demeure invariant sous l’effet de toutes les opérations de symétrie du groupe ponctuel de symétrie, il faut que ce point soit situé sur chacun des éléments de symétrie. Il se situe donc à leur intersection : tous les éléments de symétrie se coupent en un point.

Dans l’espace tridimensionnel, les éléments de symétrie autour desquels on effectue des opérations de première ou de seconde espèce sont dits axes directs et axes inverses respectivement. L’opération de symétrie effectuée autour d’un axe inverse se compose d’une rotation suivie d’une inversion. Seulement 10 éléments de symétrie sont compatibles avec la symétrie cristallographique en trois dimensions :

• axes directs : (identité), , , ,  ;
• axes inverses : (inversion), ou (miroir), , , .

Les éléments de symétrie ponctuelle cristallographique dans l’espace tridimensionnel

Symbole de Hermann-Mauguin	Symbole de Schoenflies	Description	Opération ou notation équivalente
	C1	identité	—
	C2	rotation de π	—
	C3	rotation de 2π / 3	—
	C4	rotation de π / 2	—
	C6	rotation de π / 3	—
	Ci	inversion	—
	Cs	réflexion
	S6	rotation de 2π / 3 suivie d’une inversion	rotation de π / 3 suivie d’une réflexion
	S4	rotation de π / 2 suivie d’une inversion	rotation de π / 2 suivie d’une réflexion
	S3	rotation de π / 3 suivie d’une inversion	rotation de 2π / 3 suivie d’une réflexion

Groupes ponctuels cristallographiques

Il existe 2, 10 et 32 groupes ponctuels cristallographiques dans les espaces à 1, 2 et 3 dimensions respectivement.

Chacun est noté par un symbole, le symbole d’Hermann-Mauguin, qui résume l'ensemble des opérations de symétrie constituant le groupe. Par exemple, le groupe est constitué de trois axes de rotation d’ordre 2 dans les trois directions de l'espace, et de trois plans de réflexions m qui leur sont perpendiculaires.

Les symboles de Schoenflies sont moins employés en cristallographie, car il ne permettent pas d’indiquer l’orientation des éléments de symétrie par rapport au repère cristallographique (voir les conventions de lecture de la notation d’Hermann-Mauguin).

Les groupes ponctuels cristallographiques sont classés selon la famille cristalline dans le tableau suivant.

Les groupes ponctuels cristallographiques

Dimensions de l’espace	Famille cristalline	Groupe holoèdre (Hermann-Mauguin)	Groupes mérièdres correspondants
1	triclinique
2	monoclinique
	orthorhombique
	tétragonale
	hexagonale
3	triclinique
	monoclinique
	orthorhombique
	tétragonale
	hexagonale
	cubique

Par exemple, dans la famille cristalline hexagonale de l'espace tridimensionnel il y a deux groupes holoèdres, et qui correspondent aux deux réseaux, rhomboédrique et hexagonal, existant dans cette famille.

Conventions de lecture de la notation d’Hermann-Mauguin : directions de symétrie

Les symboles d’Hermann-Mauguin sont des symboles orientés : l’orientation de chaque élément de symétrie peut se lire à partir du symbole, en sachant que dans chaque système réticulaire les directions de symétrie sont données dans un ordre conventionnel.

Une direction de symétrie de l’espace tridimensionnel est indiquée par , où les trois indices u, v, w sont les coordonnées du premier nœud du réseau le long de la direction donnée. Les indices u, v, w sont toujours débarrassés des facteurs communs. La direction passe toujours par l’origine de l’espace, qui est le point à coordonnées (0, 0, 0).

Exemples

La direction qui passe par l’origine (0, 0 ,0) et par les nœuds (1, 3, 4), (2, 6, 8), (3, 9, 12), (4, 12, 16), etc., est indiquée par . Les axes a, b et c sont indiqués par , et respectivement, car (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) sont les premiers nœuds le long de ces axes.

Les directions de symétrie dans les systèmes réticulaires de l’espace tridimensionnel

Système réticulaire	Première direction	Deuxième direction	Troisième direction
triclinique	—	—	—
monoclinique		—	—
orthorhombique
tétragonal
rhomboédrique (axes hexagonaux)			—
hexagonal
cubique

Il n’y a aucune direction de symétrie dans le système réticulaire triclinique ; les cristaux qui appartiennent à ce système réticulaire peuvent posséder le centre d’inversion comme seul élément de symétrie, qui ne définit pas une direction.

Dans le système réticulaire monoclinique, il n’y a qu’une seule direction de symétrie ; celle-ci est normalement prise comme axe b du cristal.

À partir du système réticulaire tétragonal, deux ou plusieurs directions apparaissent dans la même case : ces directions sont elles-mêmes équivalentes par symétrie ; par exemple dans le système réticulaire tétragonal, les axes a et b (directions et qui sont à 90º) sont reliés par l’axe quaternaire parallèle à la direction .

Dans le système réticulaire rhomboédrique, la troisième direction de symétrie n’existe pas. En fait, la présence des nœuds le long de la diagonale de la maille conventionnelle supprime la symétrie réticulaire le long des directions , , , qui existe en revanche dans le système réticulaire hexagonal.

Groupes isomorphes

Dans les systèmes réticulaires tétragonal et hexagonal certains groupes, ayant des éléments de symétrie différents le long des directions contenues dans le plan normal à l’axe principal, peuvent se présenter avec orientation différente, ce qui sépare ces groupes en deux groupes isomorphes, comme dans le tableau suivant.

Les groupes ponctuels cristallographiques isomorphes dans l’espace tridimensionnel

Groupe original	Groupe isomorphe

Dans le système réticulaire rhomboédrique, comme la troisième direction de symétrie n’existe plus, les trois paires de groupes trigonaux ci-dessus coalescent dans les groupes , et respectivement.

Voir aussi

Articles connexes

• Groupe d'espace
• Symboles de Hermann-Mauguin
• Système cristallin

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