Application bilinéaire

Application bilinéaire

Une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire.

Définition

Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps \mathbb{K}.
Soit \varphi : E \times F \longrightarrow G une application, on dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire :
\forall x,x' \in E, \forall y,y'\in F, \forall \lambda \in \mathbb{K} :
φ(x + x',y) = φ(x,y) + φ(x',y)
φ(x,y + y') = φ(x,y) + φ(x,y')
φ(λx,y) = λφ(x,y)
φ(x,λy) = λφ(x,y)

Si G=\mathbb{K} on parlera de forme bilinéaire.

Exemple

Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire :

\forall (\vec x, \vec y, \vec y\,') \in E^3 \; \forall (\lambda, \lambda') \in \mathbb R^2 \quad \vec x \cdot (\lambda \vec y + \lambda' \vec y\,') = \lambda(\vec x \cdot \vec y\,) + \lambda'(\vec x \cdot \vec y\,')
v · Algèbre bilinéaire
Espace euclidien · Espace hermitien · Forme bilinéaire · Forme quadratique · Forme sesquilinéaire · Orthogonalité · Base orthonormale · Projection orthogonale · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Inégalité de Minkowski · Matrice positive · Matrice définie positive · Décomposition QR · Déterminant de Gram · Espace de Hilbert · Base de Hilbert · Théorème spectral · Théorème de Stampacchia · Théorème de Lax-Milgram · Théorème de représentation de Riesz
v · d · m
Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Application bilinéaire de Wikipédia en français (auteurs)

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