Application bilinéaire

Application bilinéaire

Une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire.

Définition

Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps \mathbb{K}.
Soit \varphi : E \times F \longrightarrow G une application, on dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire :
\forall x,x' \in E, \forall y,y'\in F, \forall \lambda \in \mathbb{K} :
φ(x + x',y) = φ(x,y) + φ(x',y)
φ(x,y + y') = φ(x,y) + φ(x,y')
φ(λx,y) = λφ(x,y)
φ(xy) = λφ(x,y)

Si G=\mathbb{K} on parlera de forme bilinéaire.

Exemple

Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire :

\forall (\vec x, \vec y, \vec y\,') \in E^3 \; \forall (\lambda, \lambda') \in \mathbb R^2 \quad \vec x \cdot (\lambda \vec y + \lambda' \vec y\,') = \lambda(\vec x \cdot \vec y\,) + \lambda'(\vec x \cdot \vec y\,')

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Application bilinéaire de Wikipédia en français (auteurs)

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