Π (nombre)

Π (nombre)

Pi

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Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π (toujours en minuscule), est le rapport constant[1] entre la circonférence dun cercle et son diamètre. Il est appelé aussi constante dArchimède.

Le nombre π est aussi le rapport constant entre laire dun disque et le carré de son rayon.

Valeurs approchées courantes : 3,14 ; 3,1416 ; 22/7 ; 355/113

Mais π est un nombre irrationnel, cest-à-dire quil nest pas le rapport de deux nombres entiers. En fait, ce nombre est transcendant[2]. Cela signifie quil n'existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.

La transcendance de π établit limpossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à laide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface dun disque donné.

π3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

Sommaire

Histoire

Premiers calculs

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus quil existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi quentre laire du disque et le carré du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de 2000 ans avant J.-C. et découvertes en 1936[3] présentent des calculs daire conduisant à une valeur de π de 3+1/8. La tablette propose un premier calcul qui utilise une valeur de π égale à 3. Ce calcul est suivi dun autre présentant un facteur correctif de 1/(57/60+36/3600).

Première approximation de π : 3
Seconde approximation : 3\times \frac{1}{57/60 + 36/3600} = 3 \times \frac{25}{24} = 3 + \frac 18 = 3,125
Approximation de pi par Ahmès

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, recopié vers lan 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, dun manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On y trouve une méthode pour évaluer laire dun disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué dun neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de 25681. Dans lillustration ci-contre, le disque a pour diamètre 9. Laire du disque est légèrement supérieure à laire de loctogone irrégulier obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet octogone a pour aire 63, laire du disque est alors évaluée à 64 soit laire d'un carré de côté 8.

Autre approximation : \pi = \frac{A}{r^2}=\frac{64}{(9/2)^2} = \frac{256}{81}\approx 3,1605

Mais ni chez les Babyloniens, ni chez les Égyptiens, on ne décèle une volonté de mettre en évidence un nombre ni de montrer que le rapport entre laire du disque et le carré du rayon est le même que le rapport entre la circonférence du cercle et son diamètre.

Formule restant à prouver :  \pi = \frac{A}{r^2}=\frac pd

Cest chez Archimède, dans son traité De la mesure du cercle[4] que lon peut lire une démonstration liant laire du disque et laire du triangle ayant pour base le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon.

Aire du disque = \scriptstyle \frac12 circonférence × rayon =\scriptstyle  \frac12 \pi\times d \times r = \pi r^2

Cest ainsi quil prouve que le même nombre sutilise dans les deux formules. Dans ce même traité, Archimède prouve que le rapport entre le périmètre du cercle et son diamètre est compris entre 3 + 1071 et 3 + 17.

Encadrement de π : 3,1408 < π < 3,1429

Approximation de pi par Archimède

La première démonstration sappuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant dun carré inscrit dans le cercle et dun carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que laire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.

Cercle et ses carrés inscrit et circonscrit Cercle et ses octogones inscrit et circonscrit

Sa démonstration exploite lidée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon, la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et laire est alors de 12 de la base multipliée par la hauteur, cest-à-dire 12 du périmètre multiplié par le rayon.

Découpage du cercle en 8 portions de camembert Déroulement des 8 portions

La seconde démonstration consiste à encadrer le périmètre du cercle par le périmètre de polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant 96 côtés. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part dhexagones inscrit et circonscrit et met en évidence les formules donnant le périmètre dun polygone dont le nombre de côté a doublé. Archimède sarrête à 96 côtés car les calculs quil est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour lépoque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui peut en théorie être poursuivie indéfiniment.


Ce nest cependant pas Archimède qui attribue à ce rapport la lettre grecque « π », première lettre des mots grecs περιφέρεια (périphérie) et περίμετρος (périmètre, c'est-à-dire circonférence) mais William Jones en 1706. Cette notation, reprise par Euler en 1736, est définitivement adoptée dès la fin du XVIIIe siècle[5].

À la conquête des décimales

Encadrement de Liu Hui. Méthode développée dans en:Liu Hui's π algorithm.

Si les calculs pratiques peuvent se satisfaire de la valeur 3,14 comme bonne approximation de π, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au IIIe siècle, en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux dArchimède mais plus performants et fournit une approximation de π de 3,1416[6]. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi donna une approximation rationnelle encore plus précise de π[7] : π355/113 (dont les développement décimaux sont identiques jusqu'à la 6ème décimale, π3,1415926 et 355/1133,1415929).

En Perse, en 1429, Al-Kashi calcule 14 décimales de π. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, lAllemand Ludolph van Ceulen calcule 20 décimales, puis 34 en 1609. Il est si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) quil demande à ce que le nombre soit gravé sur sa tombe.

Ensuite, grâce au développement de lanalyse au XVIIe siècle, avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi saccélère.

James Gregory (1638 - 1675) découvre la formule suivante[8] :

James Gregory(1638 - 1675)
\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}=...=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{2k+1}

qui permet en prenant une valeur adéquate pour x de calculer π. Cependant, il ne semble pas que ceci ait interessé Gregory. Il souhaitait, par d'autres moyens, arriver à l'impossibilité de la quadrature du cercle en montrant la transcendance de π, ce qui est exact mais sa méthode était erronée[9].

En fait, la formule de développement en série de la fonction arctan avait déjà été proposée vers 1410 par le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama (1350-1425). Celui-ci précise les cas particuliers π/4=arctan(1) et π/6=arctan(1/√3:

\pi=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...\right)=4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}
\pi=\frac{6}{\sqrt 3}\left(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 3^2}-\frac{1}{7\cdot 3^3}+...\right)=\frac{6}{\sqrt 3}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)\cdot 3^k}

La première série est remarquablement simple mais n'est guère utile pour calculer π. En effet, la précision du calcul est de 1/(2n+1), cest-à-dire quil est nécessaire de calculer 500 termes pour navoir une erreur que sur la troisième décimale. La seconde, par contre, fournit une méthode de calcul plus efficace que celle d'Archimède. Elle permet à Madhava de calculer 11 décimales de π[10]. En utilisant cette même série, Sharp en 1699 calcule 71 décimales de π[11].

Isaac Newton calcule 16 décimales en 1665, en utilisant le développement en série de π/6=arcsin 1/2[11].

En 1706, John Machin utilise astucieusement le développement en série de Gregory, en établissant la formule qui porte son nom :

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

et calcule 100 décimales de π[12].

Vers 1760, Euler calcule 20 décimales en une heure (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul). Le mathématicien slovène Jurij Vega calcule en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 sont correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliore la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui. Le mathématicien William Shanks passe 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. En 1873, à laide de la formule de Machin, il présente 707 décimales de π, mais seules les 528 premières sont correctes. À l'occasion de lexposition universelle de Paris de 1937, celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du Palais de la Découverte. Lerreur ne sera détectée quen 1945, elle est corrigée depuis.

Le calcul des décimales de π semballe au XXe siècle avec lapparition de linformatique : 2 037 décimales sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année. En 2002, 1 241 100 000 000 décimales étaient connues.

Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec lalgorithme de Gauss-Legendre et lalgorithme de Borwein.

Lemniscate de Bernoulli

Lalgorithme de Salamin-Brent, donnant un très grand nombre de décimales et inventé en 1976, sappuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par Gauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre la moyenne arithmético-géométrique de 1 et √2 (M(1,√2)), la longueur de la lemniscate de Bernoulli et π. La longueur de la lemniscate est L=2 \varpi r r représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et \varpi est la constante de la lemniscate. Si on note G, la constante de Gauss, cest-à-dire linverse de M(1,√2) alors

\varpi=\pi G

LAméricain Eugène Salamin et lAustralien Richard Brent utilisent ce résultat pour un algorithme donnant les décimales de π dont la convergence est quadratique, cest-à-dire que le nombre de décimales justes double à chaque étape. La conquête des décimales de π avance alors conjointement avec celle des décimales de √2[13].

On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes).

Le record actuel est de 1 241 100 000 000 de décimales, déterminées après 600 heures de calcul en novembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards dopérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales) ; les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela :

\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443} (K. Takano, 1982)
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} (F. C. W. Störmer, 1896)

Ces approximations sont tellement grandes quelles nont aucune utilisation pratique, si ce nest tester les nouveaux supercalculateurs.

Dautres méthodes et algorithmes sont actuellement à létude et mis en œuvre comme lutilisation en parallèle dordinateurs connectés sur le réseau Internet.

Parallèlement à ces recherches, d'autres algorithmes se mettent en place pour calculer directement la ne décimale de π. En 1995, David Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, découvre une nouvelle formule de π, une série (souvent appelée formule BBP:

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Cette formule permet de calculer facilement la ne décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le site de Bailey[14] en contient la dérivation et limplémentation dans de nombreux langages de programmation. Grâce à une formule dérivée de la formule BBP, le 4 000 000 000 000 000e chiffre de π en base 2 a été obtenu en 2001.

Un an plus tard, Simon Plouffe met au point un algorithme permettant le calcul de la ne décimale de π, mais cette fois-ci en décimal[15]. Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de déterminer en base 10 un chiffre précis et isolé de π est moins rapide que celui qui consiste à calculer tous les chiffres décimaux précédents.

De la nature de π

Article détaillé : Quadrature du cercle.

Dès lépoque grecque, la question de la quadrature du cercle est posée :

« Peut-on, uniquement avec une règle non graduée et un compas, construire un carré dont laire a même surface que celle dun disque donné ? »

Le fait que certaines lunules soient quarables a laissé lespoir aux mathématiciens quune telle construction était possible. Réaliser la quadrature du cercle, cest trouver une méthode permettant, lorsqu'une longueur r est donnée, de construire à la règle et au compas la longueur r√π. Derrière la question de la quadrature du cercle, se pose la question de la nature du nombre π . Les Grecs savaient construire toute longueur en rapport rationnel (rapport de deux entiers) avec une autre, et même la racine carrée de celle-ci. Si π avait été rationnel, le problème aurait été terminé. Mais les Grecs étaient incapables de statuer sur la rationalité ou lirrationalité de π. De plus, lirrationalité de π naurait prouvé aucune impossibilité pour la construction. En effet, Euclide avait déjà prouvé que √2 était irrationnel ce qui nempêchait nullement la duplication du carré. Cependant, très rapidement, on pressent quun nombre qui ne serait pas solution dune équation polynomiale à coefficients entiers, cest-à-dire un nombre transcendant, a peu de chance dêtre constructible. Ce pressentiment ne deviendra une certitude que lorsque Pierre-Laurent Wantzel énoncera, en 1837, son théorème sur les nombres constructibles. Une des conséquences de son théorème permet daffirmer quune longueur constructible est toujours un nombre algébrique.

Jean Henri Lambert (1728-1777)

La question à laquelle les mathématiciens doivent répondre est donc double :

  • le nombre π est-il rationnel ?
  • le nombre π est-il transcendant?

Le développement de π selon la série

\pi = 8\left(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{9\times 11}+ \cdots \right)

laisse soupçonner que π nest pas rationnel mais sans démonstration rigoureuse à lappui. Les fractions continues généralisées vont fournir la réponse à la question.

En 1761, dans son Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques, Jean Henri Lambert étudie le développement en fraction continue de tan(x) et montre que, lorsque x est rationnel, le développement en fraction continue de tan(m/n) est

\tan \left(\frac mn\right) = \frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots [16]

Par conséquent, lorsque x est rationnel, le développement en fraction continue de tan(x) est illimité. Or on sait quun développement illimité conduit à un nombre irrationnel. Bref, quand x est rationnel, tan(x) est irrationnel. Or tan(π/4) vaut 1, cest un rationnel. Par contraposée, on peut affirmer que π/4 nest pas rationnel.

Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939)

En 1873, Charles Hermite prouve que la base du logarithme népérien le nombre e est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (Théorème d'Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique, alors ex est transcendant. Or e = -1 donc e nest pas transcendant. Par contraposée, nest pas algébrique et π est transcendant.

Mais de nombreuses questions se posent encore : π et e sont deux nombres transcendants mais sont-ils algébriquement indépendant ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers dont le couple (π, e) soit solution ? La question est encore en suspens. En 1929, Alexandre O Gel'fond prouve que eπ est transcendant [17] et en 1996, Yuri Nesterenko prouve que π et eπ sont algébriquement indépendants.

Par ailleurs, le développement décimal de π ouvre le champ à dautres questions

  • Existe-t-il un nombre infini de 0 ? de 1 ? de 2 ? etc. dans le développement décimal ?
  • Les 10 chiffres de lécriture décimales sont-ils équirépartis ?
  • π est-il un nombre univers ? Cest-à-dire, peut-on trouver dans le développement décimal de π nimporte quelle séquence de chiffres ?
  • π est-il un nombre normal ? Les séquences de n chiffres sont-elles équiprobables ?

À ce jour[18], il n'existe pas de réponse à ces questions[19].

π grandeur physique ?

La définition de π comme le rapport constant entre la longueur dun cercle et son diamètre pourrait laisser penser que cette grandeur est une grandeur physique et quil suffirait, pour en déterminer une valeur précise, de prendre un cercle assez grand et deffectuer les deux mesures correspondantes. On peut, par une expérience de lesprit, imaginer quun Chinois, ou un Babylonien, convaincu de cette méthode, se soit rendu sur une surface suffisamment vaste et plane pour effectuer ces mesures. On peut imaginer quil ait poursuivi lexpérience en agrandissant fortement le rayon du cercle. Il aurait alors eu la surprise de constater que ce rapport nétait plus constant mais variable, que ce rapport, proche de 3,14 pour un petit cercle, tendait à diminuer quand le rayon du cercle augmentait de façon significative. En effet, les mesures quil aurait effectuées sont des mesures effectuées sur la terre, cest-à-dire sur une sphère. En géométrie sphérique, le rapport circonférence/diamètre nest pas constant. Le résultat énoncé précédemment nest valable quen géométrie euclidienne. Les physiciens émettent lhypothèse que notre univers puisse ne pas être euclidien. Dans ce cas, la circonférence dun cercle physique ne vaudrait pas π multiplié par le diamètre. Mais, quelle que soit la nature globale de notre univers, la théorie de la relativité indique que les masses déforment localement notre espace. La valeur de π × d comme circonférence dun cercle physique nest donc quune approximation qui ne nécessite pas tous les efforts de précision sur les décimales. Le nombre π nest donc quune constante mathématique utile dans un espace mathématique euclidien. Cette observation a poussé certains mathématiciens à rechercher une définition de π moins concrète.

Formules incluant π

Les formules intéressantes contenant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. Une des plus célèbres après celles relevant de la définition géométrique de π est lidentité d'Euler. Cette formule a été décrite comme la formule la « plus remarquable » pour sa particularité de faire intervenir 1, 0, e, i et, bien sûr, π, qui sont parmi les nombres les plus « remarquables » des mathématiques.

e^{i \pi} + 1 = 0\;

Géométrie

Pi apparaît dans beaucoup de formules de géométrie impliquant les cercles et les sphères

Forme géométrique Formule
Circonférence dun cercle de rayon r et de diamètre d C = 2 \pi r = \pi d \,\!
Aire dun disque de rayon r A = \pi r^2 \,\!
Aire dune ellipse de demi-axes a et b A = \pi a b \,\!
Volume dune boule de rayon r V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!
Aire surfacique dune sphère de rayon r A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!
Volume dun cylindre de hauteur h et de rayon r V = \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique dun cylindre de hauteur h et de rayon r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Volume dun cône de hauteur h et de rayon r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Aire surfacique dun cône de hauteur h et de rayon r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

La surface dun cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).
π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions). La mesure dangle 180° (en degrés) est égale à π radians.

En géométrie non euclidienne, la somme des angles dun triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π.

Définitions alternatives

Article détaillé : Exponentielle.

La définition historique et usuelle du nombre π (le rapport de la circonférence dun cercle et de son diamètre) est parfois gênante pour dégager les propriétés du nombre π, qui dépassent largement le cadre de la géométrie euclidienne. À linstar des fonctions cosinus et sinus qui sont définies de manière intuitive grâce au cercle trigonométrique mais de manière rigoureuse grâce aux séries entières, nous pouvons introduire une définition analytique de π, ce qui facilite grandement létude de ce nombre grâce aux outils de lanalyse.

Les propriétés exp(z+w)=exp(z)exp(w) et exp(0)=1 qui découlent de la définition analytique de lexponentielle font que lapplication \scriptstyle t \mapsto \exp(it) est un morphisme de groupes continu du groupe \scriptstyle (\R,+) vers le groupe \scriptstyle (\mathbb{U},\times) ( \scriptstyle \mathbb{U} est lensemble des complexes de module égal à 1). On démontre alors que lensemble des nombres réels t tels que exp(it) = 1 est de la forme \scriptstyle a\Z a est un réel strictement positif. On pose alors π = a / 2. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne.

Le groupe Bourbaki propose une définition alternative très voisine en démontrant lexistence dun morphisme de groupe f continu de \scriptstyle (\R,+) vers \scriptstyle (\mathbb{U},\times) tel que f(1/4) = i. Il démontre que ce morphisme est périodique de période 1, dérivable et quil existe un réel a tel que, pour tout réel x, f'(x) = 2iaf(x). Il définit π comme le réel ainsi trouvé.

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à rectifier le cercle soit avec la fonction \scriptstyle t \mapsto e^{it}, soit avec la fonction \scriptstyle t \mapsto e^{2i\pi t}

Mais on peut aussi définir π grâce au calcul intégral en posant :

 {\pi \over 4} =\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx\,

ce qui revient à calculer laire dun quart de disque

Ou bien à laide du dénombrement, en appelant \scriptstyle \varphi(n), le nombre de couples dentiers naturels (k, p) tels que \scriptstyle k^2+p^2 \le n^2 et en définissant :

\frac{\pi}{4}= \lim_{n \mapsto \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}

ce qui est une autre méthode de quarrer le quart de cercle.

Ou bien encore, si la fonction cosinus a été définie formellement soit par sa série entière soit par lunique solution de léquation différentielle y'' = y vérifiant f(0) = 1 et f'(0) = 0, le nombre π peut être défini comme le plus petit réel positif a tel que cos(a)= - 1.

Enfin, toutes les suites établies dans la section suivante fournissent une définition alternative de π.

Suites et séries

De nombreuses suites ou séries convergent vers π ou un multiple rationnel de π et sont même à lorigine de calculs de valeurs approchées de ce nombre.

Méthode dArchimède

\pi = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \sin \left( { \pi \over n } \right) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \tan \left( { \pi \over n } \right) \right).

Les deux suites définies par \scriptstyle s_n=n\sin(\pi/n), et \scriptstyle t_n=n\tan(\pi/n), n 3, représentent les demi-périmètres des polygones réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour sn, exinscrit pour tn. On les exploite par des suites extraites dont lindice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir π par passage à la limite dexpressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée. Ainsi on peut sinspirer de la méthode utilisée par Archimèdevoir historique du calcul de πpour donner une définition par récurrence des suites extraites de termes \scriptstyle s_{2^n} et \scriptstyle t_{2^n} ou encore \scriptstyle s_{3.2^n} et \scriptstyle t_{3.2^n}, à laide des identités trigonométriques usuelles :

\begin{array}{lll}
t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\
s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,.
\end{array}

En utilisant les identités trigonométriques, \scriptstyle 2\sin(x/2)=\sqrt{2-\cos(x)} et \scriptstyle 2\cos(x/2)=\sqrt{2+\cos(x)} (x [0,π]), on peut exprimer s2k+1 et s3.2k (k≥1) par emboîtements successifs de racines carrées. On obtient les formules qui suivent pour π.

π peut alors sexprimer sous la forme dune formule s'emboîtent des racines carrées :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right ) (k est le nombre de racines carrées emboitées)

ou encore :

\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )

Une autre expression de s2k+1, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par (2+…)), conduit au produit infini suivant (formule de François Viète, 1593).

\frac{\pi}2=
\frac{2}{\sqrt2}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots

Sommes et produits infinis

Fonction zêta de Riemann

Article détaillé : Fonction zêta de Riemann.
  • \zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90},
et plus généralement, Euler indiqua que ζ(2n) est un multiple rationnel de π2n pour un entier positif n.

Fonction Gamma dEuler

Fraction continue

π peut sécrire sous forme de fractions continues généralisées remarquables :

\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}
 = {1 + {1^{2}\over 2
              + {3^{2}\over 2
              + {5^{2}\over 2
              + {7^{2}\over 2
              + {9^{2}\over 2
              + {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}}  (William Brouncker)
\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}

Les démonstrations ainsi que dautres représentations sont données dans larticle Fraction continue.

Théorie des nombres

La fréquence dapparition de paires dentiers naturels premiers entre eux parmi les paires dentiers comprises entre 0 et N tend vers 6/π² quand N tend vers linfini.

Le nombre moyen de façons décrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux carrés parfaits, en tenant compte de lordre, tend vers π/4 quand N tend vers linfini.

\sum_{k=0}^{n} \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2 \varphi\, est la fonction indicatrice d'Euler (cf. aussi les suites de Farey).

Probabilité

Laiguille de Buffon est une expérience de probabilité proposée par Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon et consistant à calculer la probabilité quune aiguille de longueur a, lancée sur une parquet fait de lattes de largeur l, soit à cheval sur deux lattes, cette probabilité p est :

p = \frac{2a}{\pi\times  l}
Évaluation de π par la méthode de Monte Carlo

La méthode de Monte Carlo est une autre expérience probabiliste consiste à prendre au hasard un point dans un carré de côté 1, la probablité que ce point soit dans le quart de disque de rayon 1 est de π/4.

Les deux formules suivantes, tirées de lanalyse trouvent des applications pratique en probabilité. Lune permet de montrer la convergence de la loi binomiale vers la loi de Gauss et lautre permet de calculer la densité dune loi de Gauss.

Voir aussi

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi} presque sûrement, lorsque les xi sont les itérés de la fonction logistique de paramètre μ = 4 appliquée à un réel x0 choisi dans l'intervalle [0, 1] (cest-à-dire quon définit, pour tout i > 0, x_{n+1} = 4 x_n(1 - x_n)~).

Autour de π

Retenir π

Un moyen mnémotechnique est ce poème[20] le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, hormis un mot de 10 lettres codé « 0 » :

Que jaime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste, ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout ladmirable procédé, lœuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer lespace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne sy tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de lorbe calculée[21] approchera ;
Définira limite ; enfin, larc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle

En 2005, un Japonais de 59 ans, Akira Haraguchi, a réussi à aligner par cœur 83 431 décimales de π en 13 heures. Il réitéra son record un an plus tard (2006) en mémorisant et récitant publiquement 100 000 décimales pendant 16 heures. Cet exploit a été homologué par le Livre Guinness des records.

Hommages à π

Une tradition anglo-saxonne veut que lon fête lanniversaire de π dans certains départements mathématiques des universités le 14 mars. Le 14 mars qui est noté "3/14" en notation anglo-saxonne, est donc appelé la journée de pi[22]. On y mange des tartes (pie en anglais).

De même, le 22 juillet, noté "22/7", est l'occasion de fêter une approximation de π.

Le système logiciel de composition de documents TeX a choisi, en hommage à π, de nommer ses versions du nom des approximations décimales successives de pi. La version actuelle est donc la version 3.1415926

π et culture populaire

Si π est un nombre univers, il est normal, quoique parfois surprenant, de trouver dans les décimales de π, nimporte quelle séquence de nombres. Jean-Paul Delahaye[19] signale par exemple que la somme des 20 premières décimales de π donne 100 ; Robert Gold, amateur de guématrie, affirme avoir trouvé, à laide de calculs compliqués, que les mots clefs de la Bible étaient dans π[23].

Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre π dans les pyramides et, plus précisément, que π est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides[24]. Il est vrai que la pyramide de Khéops possède une pente de 14/11, et que, par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de π , le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de π . Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien nest moins sûr[25] puisque la pente des pyramides nest pas constante et que, selon les régions et les époques, lon trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khephren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale) qui conduisent à un rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné de π.

Notes et références

  1. dans un plan euclidien
  2. Ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882 : Lindemann, F. « Über die Zahl π », Mathematische Annalen 20 (1882), p. 213-225.
  3. Tablettes de Suse - voir par exemple ici
  4. Voir une traduction du texte original
  5. Florian Cajori, A History of Mathematical Notations [détail des éditions] , volume 2, p. 9 nos 396 - 398
  6. Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Edition critique" [détail des éditions], p. 144-147
  7. (en) Daprès sa biographie sur le site de Mac Tutor, dans son texte Zhui shu.
  8. a et b attribuée souvent à Leibniz, mais découverte probablement antérieurement par Gregory, voir (en)Pi_through_the_ages.html sur le site de luniversité de Saint Andrews. Cette formule avait également été trouvée vers 1400 par le mathématicien indien Madhava, mais cette découverte resta inconnue du monde occidental.
  9. Voir (en)Squaring the circle, et la (en)biographie de Gregory sur le site de luniversité de Saint Andrews
  10. a et b (en) Biographie de Madhava sur le site de luniversité de Saint-Andrew
  11. a et b http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_chronology.html
  12. 26 décimales suffisent pour estimer la taille de lunivers avec une précision égale à la taille dun atome.
  13. La recherche, no 392, Décembre 2005, Lindispensable nombre π
  14. (en)site de bailey
  15. Voir (en) page de Simon Plouffe
  16. Pour plus de détail voir Fraction continue et approximation diophantienne#Nombre de Pythagore
  17. La recherche, no 392, Décembre 2005, L'indispensable nombre π
  18. octobre 2008
  19. a et b Conférence de Jean-Paul Delahaye, le nombre pi est-il simple ou compliqué consultable ici
  20. Publié pour la première fois par the academy, d'après la Revue scientifique, 1905. Les quatre premiers vers sont connus en 1846, dans Le livre des singularites, Gabriel Peignot, G. P. Philomneste
  21. Le mot orbe est du masculin mais ce ne fut pas toujours le cas, ceci induit à présent une faute daccord à « calculée » que lon peut remplacer par « escompté », par exemple, pour conserver le bon nombre de lettres.
  22. (en) Site « officiel » de la journée de pi.
  23. Robert Gold, "Dieu et le nombre pi", Éditions O. Bène Kénane, ISBN 9652227277
  24. Voir par exemple Le secret de la grande pyramide" de George Barbarin
  25. Selon The journal of the Society for the study of Egyptian Antiquities, ISSN 0383-9753, 1978, vol 8, n4, « la valeur de π apparaissant dans la relation entre la hauteur et la longueur de la pyramide est vraisemblablement co-accidentelle »

Annexes

Articles connexes

Bibliographie

  • Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Éditions Belin, Pour la Science - (ISBN 2-9029-1825-9)
  • Pierre Eymard, Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Éditions Hermann, Paris, 1999 - (ISBN 2705614435)
  • Jörg Arndt & Christoph Haenel : À la poursuite de π, Éditions Vuibert, 2006 - (ISBN 2-7117-7170-9)

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