Identite d'Euler

Identite d'Euler

Identité d'Euler

Article d'une série sur
la constante mathématique e
Euler's formula.svg
Logarithme naturel
Applications
Intérêts composés · Identité d'Euler et Formule d'Euler · Demi-vie et Croissance exponentielle/Décroissance exponentielle
Définitions
Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème de Lindemann-Weierstrass
Personnes
John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler
Conjecture de Schanuel

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation mathématique, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler.

e^{i \pi} + 1 = 0\;

où \ e est la base du logarithme népérien, \ i est l'unité des imaginaires purs (vérifiant \ i^2=-1) et \ \pi est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre).

L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.

Dans la préface de l'un de ses cahiers, alors qu'il avait presque quinze ans, Richard Feynman, qualifia cette identité de « formule la plus remarquable au monde ».[réf. nécessaire]

Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe : pour tout nombre réel \ x, \ e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!, qui est vrai en particulier pour \ x = \pi (or \ \cos(\pi) = -1 et \ \sin(\pi) = 0).

Démonstration

EulerIdentity2.png
EulerIdentity2b.png

Juxtaposition de 8 triangles rectangles

Juxtaposition de 16 triangles rectangles

Illustration du résultat
Ambox notice.png Cliquez sur une vignette pour l’agrandir

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.

Pour tout z\,\in\mathbb{C} \quad e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n

Or les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées \left(1 + \dfrac{i\pi}{N}\right)^N est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles.

Voir aussi

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