Constante de Gauss

Constante de Gauss

En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de deux :

G = \frac{1}{M(1, \sqrt{2})} \simeq 0,8346268

Cette constante porte le nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss car il a découvert en 1799[réf. nécessaire] que :

G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}

soit:

G = \frac{2}{\pi}\mathrm{\Beta}\left( \frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)

où Β est la fonction bêta.

Sommaire

Relation avec d'autres constantes

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

\Gamma\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{ 2\pi G \sqrt{ 2\pi } }

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscate

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate, la première étant :

L_1\;=\;\pi G

et la seconde :

L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}

qui interviennent dans le calcul de la longueur d'arc d'une lemniscate.

Autre formule

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi})

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, ...].

Références

v · Carl Friedrich Gauss
Algèbre Lemme de Gauss  • Élimination de Gauss-Jordan  • Méthode de Gauss-Seidel  • Somme de Gauss  • Théorème de d'Alembert-Gauss
Analyse Algorithme de Gauss-Newton  • Théorème de Gauss-Lucas  • Fonction gaussienne  • Intégrale de Gauss  • Méthodes de quadrature de Gauss
Théorie des nombres Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing  • Constante de Gauss  • Lemme de Gauss  • Entier de Gauss  • Loi de réciprocité quadratique
Statistique Théorème de Gauss-Markov  • Fonction de Gauss
Géométrie Formule de Gauss-Bonnet  • Équations de Gauss-Codazzi  • Courbure de Gauss
Physique Théorème de Gauss  • Théorème de Gauss en électromagnétisme  • Faisceau gaussien

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