Matrice jacobienne

Matrice jacobienne

En analyse vectorielle, la matrice jacobienne est une matrice associée à une fonction vectorielle en un point donné. Son nom vient du mathématicien Charles Jacobi. Le déterminant de cette matrice, appelé jacobien, joue un rôle important dans la résolution de problèmes non-linéaires.

Sommaire

Matrice jacobienne

La matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction vectorielle.

Soit F une fonction d'un ouvert de \R^n à valeurs dans \R^m. Une telle fonction est définie par ses m fonctions composantes à valeurs réelles :

F : \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} f_1(x_1,\dots,x_n)\\ \vdots\\ f_m(x_1,\dots,x_n)\end{pmatrix}

Les dérivées partielles de ces fonctions en un point M, si elles existent, peuvent être rangées dans une matrice à m lignes et n colonnes, appelée matrice jacobienne de F :

\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}

Cette matrice est notée :

J_F\left(M\right) \qquad \text{,}\qquad \frac{\partial\left(f_1,\ldots,f_m\right)}{\partial\left(x_1,\ldots,x_n\right)}\qquad \text{ou}\qquad\frac{\mathrm D\left(f_1,\ldots,f_m\right)}{\mathrm D\left(x_1,\ldots,x_n\right)}

Pour i = 1, ..., m, la ie ligne de cette matrice est la transposée du vecteur gradient au point M de la fonction fi. La matrice jacobienne est également la matrice de la différentielle de la fonction. La fonction F est dite de classe C1 si ses dérivées partielles existent et sont continues.

Exemple

La matrice jacobienne de la fonction F: \R^3 \to \R^4 définie par :

F\left(x_1,x_2,x_3\right) = \left(x_1,5x_3,4x_2^2 - 2x_3,x_3 \sin\left(x_1\right)\right)

est:

J_F\left(x_1,x_2,x_3\right) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3 \cos\left(x_1\right) & 0 & \sin\left(x_1\right) \end{pmatrix}

Propriétés

La composée F\circ G de fonctions de classe C1 est de classe C1, et sa matrice jacobienne s'obtient par la formule : J_{F \circ G}= \bigl( J_F \circ G \bigr) \cdot J_G

Déterminant jacobien

Si m = n, alors la matrice jacobienne de F est une matrice carrée. Nous pouvons alors calculer son déterminant \det\; J_F, appelé le déterminant jacobien, ou jacobien. Dire que le jacobien est non nul revient donc à dire que la matrice jacobienne est inversible.

Une fonction F de classe C1 est inversible au voisinage de M avec une réciproque F − 1 de classe C1 si et seulement si son jacobien en M est non nul (théorème d'inversion locale). De plus, la matrice jacobienne de F − 1 se déduit de l'inverse de la matrice jacobienne de F au moyen de la formule J_{F^{-1}} = \bigl( J_F \circ F^{-1} \bigr)^{-1}.

Le théorème de changement de variables dans les intégrales multiples fait intervenir la valeur absolue du jacobien. Par exemple, pour le cas de deux variables, si F est une bijection de classe C1 d'un ouvert U sur un ouvert V, si le jacobien de F ne s'annule pas et si g est une fonction continue de V dans \R, on a :

\iint_V g(x,y) \;\mathrm dx\,\mathrm dy = \iint_U g\left(F\left(u,v\right)\right) \left|\det J_F(u,v)\right|~\mathrm du\,\mathrm dv.

Exemple

Le passage en coordonnées polaires est un changement de variables \left(x,y\right)\to\left(r,\theta\right) défini par l'application suivante :

\begin{array}{rcl} F : \R_+ \times [0,2\pi] & \longrightarrow & \R^2\\ \left(r,\theta\right) & \longmapsto & \left(r\cos\theta,r\sin\theta\right) \end{array}

La matrice jacobienne au point \left(r,\theta\right) est :

J_F\left(r,\theta\right) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \\ \end{pmatrix}

Le jacobien du passage en coordonnées polaires est donc r \cos^2\left(\theta\right)+r \sin^2\left(\theta\right) = r. Si g est une fonction continue sur un ouvert V, on peut écrire V en coordonnée polaires et obtenir

U = \left\{ (r,\theta)\in\R_+\times[0,2\pi] \; ; \; \left( r\cos\theta, r\sin\theta\right) \in V \right\}

Bien qu'on ne soit pas rigoureusement dans les conditions d'application du théorème ci-dessus (annulation du jacobien pour r=0, problème de bijectivité de F), on peut tout de même écrire

\iint_V g\left(x,y\right) \;\mathrm dx\,\mathrm dy = \iint_U g\left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)r \;\mathrm dr\mathrm\, d \theta

Interprétation

Matrice jacobienne

Au voisinage du point M, l'approximation linéaire de la fonction F est donnée par :

F\left(X\right) \approx F\left(M\right) + J_F\left(M\right) \overrightarrow{MX}

Jacobien

Si le jacobien est positif au point M, l'orientation de l'espace est conservée au voisinage de ce point. À l'inverse, l'orientation est inversée si le jacobien est négatif.

Si l'on considère un « petit » domaine, le volume de l'image de ce domaine par la fonction F sera celui du domaine de départ multiplié par la valeur absolue du jacobien.

Application

En mécanique des milieux continus, le tenseur des déformations pour les petites déformations (ou tenseur de Green) est la partie symétrique de la matrice jacobienne du vecteur-déplacement de chaque point du solide.

Voir aussi

Articles connexes


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