Classe De Régularité

Classe de régularité

En mathématiques, les différentes classes de régularité sont définies à partir des dérivées itérées des fonctions, et de la continuité éventuelle de ces dérivées.

Si $I$ est un intervalle de $\R$ , et $k \geq 1$ un entier on note $\mathcal{D}^k(I,\R)$ l'ensemble des fonctions de $I$ vers $\R$ qui sont $k$ fois dérivables. On note $\mathcal{C}^k(I,\R)$ le sous-ensemble de $\mathcal{D}^k(I,\R)$ formé par les fonctions dont la $k$ -ième dérivée est continue, et on note $\mathcal{C}^0(I,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de $I$ vers $\R$ . Enfin on note $\mathcal{C}^{\infty}(I,\R)$ l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de $I$ vers $\R$ .

Ces ensembles sont des algèbres sur $\R$ et on a la suite d'inclusions :

$\mathcal{C}^0(I,\R) \supset \mathcal{D}^1(I,\R) \supset \mathcal{C}^1(I,\R) \supset \mathcal{D}^2(I,\R) \supset \mathcal{C}^2(I,\R) \supset \cdots \supset \mathcal{C}^{k}(I,\R) \supset \mathcal{D}^{k+1}(I,\R) \supset \mathcal{C}^{k+1}(I,\R) \supset \cdots \supset \mathcal{C}^{\infty}(I,\R).$

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