Approximation Linéaire

Approximation linéaire

Tangente au point (a, f(a))

En mathématiques, une approximation linéaire est une approximation d'une fonction, par une fonction affine.

Par exemple, étant donné une fonction dérivable $f$ d'une variable réelle, et un réel $a$ , il existe une fonction $\varepsilon$ définie dans un voisinage de $a$ telle que

$f(x)=f(a)+f\,'(a)(x - a)+\varepsilon(x)$

$\varepsilon$ s'appelle le reste. Cette formule apparaît comme un cas particulier ( $n = 1$ ) de la formule de Taylor : c'est un développement limité d'ordre 1.

Une approximation linéaire de $f$ s'obtient en négligeant le reste. La fonction $x\mapsto f(a) + f\,'(a)(x-a)$ représente alors une approximation linéaire de $f$ en $a$ .

On écrit alors, pour $x$ dans un voisinage de $a$

$f(x) \simeq f(a)+f\,'(a)(x-a)$ .

L'expression de droite correspond à l'équation $y=f(a)+f\,'(a)(x-a)$ de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point $(a, f (a))$ , et pour cette raison, certains appellent cette méthode l'approximation tangente ou approximation affine tangente.

Il est aussi possible d'utiliser des approximations pour les fonctions vectorielles d'une variable vectorielle, dans laquelle $f\,'(a)$ est remplacée par une matrice jacobienne. L'approximation correspond alors à l'équation d'une droite tangente, ou d'un plan tangent, ou d'un hyperplan tangent. Cela s'applique aussi aux fonctions d'une variable complexe.

Dans le cas plus général des espaces de Banach, on peut écrire

$f(x) \simeq f(a) + \mathrm Df(a)(x - a)$

où $D f (a)$ est la différentielle de $f$ en $a$ . Ici l'application linéaire n'est autre que $D f (a)$ .

Exemples

Pour trouver une valeur approchée de $\sqrt[3]{25}$ il est possible de procéder de la manière suivante:

considérer la fonction $f$ définie par $f(x)= x^{1\over 3}\,$ . Le problème se ramène à la recherche d'une valeur approchée de $f (25)$ .
$f$ est une fonction puissance donc dérivable sur $\R_+^*$ et la dérivée est donnée par

$f\,'(x)= \frac13 x^{-\frac23}$ .
Par l'approximation linéaire donnée par la dérivée, il vient, en prenant $a = 27$ :

$f(25) \simeq f(27) + f\,'(27)(25 - 27) = 3 - \frac2{27}$ .
La valeur approchée 2,926 obtenue, apparaît assez proche de la valeur exacte 2,924…

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