Entier de Gauss

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Carl Friedrich Gauss.

En mathématiques, et plus précisément en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un élément de l'anneau des entiers quadratiques de l'extension quadratique des rationnels de Gauss. Il s'agit donc d'un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont des entiers relatifs.

L'ensemble des entiers de Gauss possède une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, il forme un anneau intègre, généralement noté Z[i], i désigne ici l'unité imaginaire. Cet ensemble dispose en plus d'une division euclidienne, ce qui permet d'y bâtir une arithmétique très analogue à celle des entiers relatifs. De manière plus générale, cet ensemble peut être vu comme un anneau d'entiers quadratiques et à ce titre est un anneau de Dedekind.

Ils sont largement utilisés en théorie algébrique des nombres et en arithmétique modulaire, par exemple pour l'étude d'équations diophantiennes, Leur utilisation a permis à Carl Friedrich Gauss de démontrer la loi de réciprocité quadratique.

Histoire

Ouvrage traitant des entiers de Gauss 1801.

Les entiers de Gauss ont été découverts alors que Gauss recherche une solution à la question des congruences des carrés étudié dans un premier temps par Fermat. Euler formalise la notion de résidu quadratique et conjecture la solution, c'est-à-dire la loi de réciprocité quadratique. Legendre reprend le théorème et propose une preuve^[1] incomplète et insuffisante.

À l'âge de 18 ans, Gauss démontre le théorème. La démonstration est publiée^[2] trois ans plus tard. Il considère cette loi comme le joyau de l'arithmétique, l'appelant même le « théorème d'or ». Pour résoudre cette question, il découvre un ensemble : celui des entiers qui portent maintenant son nom. Ils bénéficient des mêmes propriétés arithmétique que les entiers relatifs. On y trouve la division euclidienne, l'équivalent du lemme d'Euclide, de l'identité de Bézout, des nombres premiers et du théorème fondamental de l'arithmétique. À l'aide de cette structure, il redémontre le théorème des deux carrés conjecturé par Fermat et démontré par Euler et ouvre la voie de l'arithmétique modulaire.

L'utilisation d'une structure comme celle des entiers de Gauss subit des tentatives de généralisation pour s'appliquer à des cubes ou à des puissances quelconques. Elles débouchent dans le cas des cubes (voir entier d'Eisenstein) ou des puissances cinquièmes (voir entier de Dirichlet). En 1847 Gabriel Lamé utilise une méthode d'extension brutale et pense à tort avoir démontré le grand théorème de Fermat. Sa méthode est inopérante car, à la différence des entiers de Gauss, son extension ne dispose pas de la propriété d'unicité du théorème fondamental de l'arithmétique. Kummer trouve^[3] une solution qui garantit à nouveau cette unicité. Cette méthode permet de généraliser la loi de réciprocité dans de nombreux cas, et prouve le grand théorème de Fermat dans tous les cas compris entre 3 et 100, exceptés 37, 59 et 67.

L'étude de ce type de structure est alors largement développée par des mathématiciens comme Dedekind^[4] ou Hilbert^[5] et prend le nom de théorie des anneaux.

Définition

Formellement, l'ensemble des entiers de Gauss Z[i] est l'anneau des entiers algébriques du corps commutatif des rationnels de Gauss, c'est-à-dire l'ensemble des rationnels de Gauss dont le polynôme irréductible normalisé est à coefficients entiers.

Il correspond aux nombres complexes qui peuvent être décrits de la façon suivante :

$\mathbb{Z}[i]=\{a+bi \; |\; a,b\in \mathbb{Z} \}.$

Les deux définitions sont équivalentes.

Démonstration

L'objectif est de montrer que l'ensemble des entiers de Gauss, c’est-à-dire les rationnels de Gauss ayant un polynôme minimal unitaire à coefficients entiers, est celui des nombres de la forme a + i.b où a et b sont des entiers.

Si a et b sont entiers alors a + i.b est un entier de Gauss.

En effet, a + i.b est racine du polynôme unitaire à coefficients entiers X² - 2a.X + a² + b²

Réciproquement si e = a + i.b est un entier de Gauss alors a et b sont des entiers.

Soit P[X] le polynôme minimal de e:

$P[X]=X^2+p.X+q \quad avec \quad p,q\in \mathbb{Z} \quad et \quad P(e)=0$

Comme les coefficients du polynôme sont réels, les deux racines sont conjugées et l'on obtient les deux égalités : 2.a = -p et a² + b² = q. Ces égalités montrent qu'il existe deux nombres entiers α et β tel que α = 2.a et aussi β = 2.b car le carré de 2.b est un entier. La deuxième égalité devient :

$(i)\quad 4.q=\alpha^2 + \beta^2\;$

Supposons que α soit impair, alors pour que le deuxième membre de l'égalité (i) soit paire, il est nécessaire que β soit aussi impair. Il existe alors deux entiers α' et β' tels que α = 2.α' + 1 et β = 2.β' + 1. L'égalité (i) devient :

$(ii)\quad 4.q=(2.\alpha'+1)^2 + (2.\beta'+1)^2=4(\alpha'^2+\beta'^2+\alpha'+\beta')+2\;$

Le deuxième terme de l'équation (ii) est congru à 2 modulo 4 alors que le premier est congru à zéro. En conclusion α ne peut être impair.

Le fait que α soit pair implique que β est aussi pair, en conséquence a et b sont entiers.

Premières propriétés

Structure d'anneau

Article détaillé : Entier algébrique.

Réseau des entiers de Gauss.

L'ensemble des entiers de Gauss muni de l'addition et de la multiplication forme un anneau.

Ses éléments inversibles sont : $1, -1, i, \textrm{~et~} -i.$

Cette propriété est générale aux entiers d'une extension de corps (voir Entier algébrique). Il est néanmoins simple de vérifier ici que l'ensemble est un sous-anneau de l'anneau des rationnels de Gauss (tout corps est aussi un anneau) :

$\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z} \quad (a_1+i\cdot a_2)-(b_1+i\cdot b_2)=(a_1-b_1)+i\cdot (a_2-b_2)\in \mathbb{Z}[i]$ $\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{Z} \quad (a_1+i\cdot a_2)\cdot (b_1+i\cdot b_2)=(a_1\cdot b_1-a_2\cdot b_2)+i\cdot (a_1\cdot b_2+a_2\cdot b_1)\in \mathbb{Z}[i]$

En tant que sous-anneau du corps des rationnels de Gauss, il hérite de certaines propriétés, ainsi l'anneau est intègre. Il est de plus unitaire et donc de caractéristique nulle.

L'ensemble peut, de plus, être muni d'une structure de Z module, comme chaque anneau d'entiers algébriques et bénéficie des propriétés inhérentes à ces anneaux. Le module est libre et de type fini. Il possède donc une base, ici la base canonique est (1,i).

Norme

Trois entiers de Gauss : 1+i, 2+i et 1+3i.

Comme tout anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss possèdent une norme. Si N est cette norme, elle est définie par :

$\forall a_1,a_2 \in \mathbb{Z} \quad N(a_1 + a_2i) = a_1^2 + a_2^2\,$

ou encore

$\forall z \in \mathbb{Z}[i] \quad N(z) = \left|z\right|^2=z \bar z\,$

Elle possède une représentation graphique naturelle, la norme correspond au carré du rayon du cercle ayant pour centre l'origine et de rayon le carré du module du nombre. La figure de droite illustre ce fait, le nombre x égal à 1 + i est de norme 2 et y égal à 2 + i est de norme 5.

La norme telle que définie ici semble incohérente avec celle d'un espace euclidien, une racine carrée est manquante. Leurs origines sont différentes, les généralisations des normes euclidiennes apparaissent comme la racine carré d'une somme de carrés dans un espace de dimension quelconque, dans le cas de la théorie des entiers algébrique, elle apparaît comme une somme de puissance de n si n est la dimension de l'extension. Sous le même mot, se cache deux notions différentes, même si, dans le cas particulier des entiers de Gauss, les formes sont analogues.

La norme est à valeur entière et toujours positive. Elle est de plus multiplicative.

$\forall x,y \in \mathbb{Z}[i] \quad N(x\cdot y) = x\cdot y \cdot \overline {x\cdot y} = x\cdot y\cdot \bar x\cdot \bar y = x\cdot \bar x\cdot y\cdot \bar y = N(x)\cdot N(y)\,$

Le graphique illustre cette propriété : x de norme 2 et y de norme 5 ont pour produit un entier de Gauss de norme 10.

La norme permet de démontrer simplement quelques résultats, par exemple la recherche des éléments inversibles de l'anneau. Soit x un élément inversible. Alors N(x·x⁻¹) = 1 = N(x)·N(x⁻¹) donc la norme de tout élément inversible est égale à 1. Réciproquement si x est de norme 1 alors son conjugué est égal à son inverse donc x est inversible. Le groupe des unités est composé des quatre éléments ayant une norme égale à un : 1, −1, i, −i.

Division euclidienne

Article détaillé : Division euclidienne.

La norme possède une propriété plus importante : elle permet de définir une division euclidienne.

Soit a et b deux entiers de Gauss tel que b soit non nul, alors il existe un couple d'entiers de Gauss tel que :

$a=b\cdot q+r\quad \text{avec} \quad N(r)<N(b)\;$

Illustrons la division euclidienne par un exemple :

$\begin{align} a&=-36+242\cdot i\\ b&=50+50\cdot i\\ \frac{a}{b}&=\frac{103}{50}+\frac{139}{50}i \end{align}$

L'objectif est de trouver un entier de Gauss q proche de a / b. Par proche on entend que le reste de la division soit de norme plus petite que b. Une autre manière d'exprimer la division euclidienne est de dire que la distance entre a / b et q est strictement inférieure à 1.

Dans l'illustration, le carré contenant a / b est mis en valeur par un fond rouge. Les quatre sommets du carré sont alors candidats à être solution de la division euclidienne. Chaque sommet est le centre d'un cercle de rayon un, dont l'intersection du disque intérieur avec le carré rouge indique la zone où la division est possible. On remarque que tout point du carré est couvert par au moins un cercle. Plus précisément les points près du centre sont couverts par quatre cercles, une zone près de chaque sommet est couverte par trois cercles, le reste du carré, autour des côtés, par deux cercles à l'exception des sommets, couverts par un unique cercle.

En conclusion, la division euclidienne admet toujours de une à quatre solutions, la solution est unique si et seulement si a / b est un entier de Gauss. Dans notre exemple, les trois solutions acceptables sont :

$s_1=2+3\cdot i\quad s_2=2+2\cdot i\quad s_3=3+3\cdot i$

L'unicité de la solution n'est pas si importante, les entiers de Gauss forment un anneau euclidien.

Démonstration

Considérons un entier de Gauss q tel que la norme N(a /b - q ) soit plus petite que 1/2. Il suffit de considérer un nombre q ayant une partie réelle (respectivement imaginaire) à une distance inférieure ou égale à 1/2 de la partie réelle (respectivement imaginaire) de a /b. Cette existence traduit le fait que tout disque de rayon 1 croise au moins une fois l'anneau des entiers de Gauss. Définissons r comme égal à b.(a /b - q ), alors l'égalité définissant la division euclidienne est vérifiée et :

$N(r)=N(b).N(a/b-q)\le 1/2.N(b)<N(b)\;$ En général le couple q, r n'est pas unique. Il l'est si et seulement si a /b est un entier de Gauss, c’est-à-dire si la division n'admet pas de reste.

Arithmétique

Article détaillé : Anneau euclidien.

La division euclidienne possède des propriétés fortes. Elle permet de construire une arithmétique complète. On parle alors d'anneau euclidien. Cette arithmétique est semblable à celle des entiers.

Anneau principal

Un anneau principal est un anneau commutatif dont tous les idéaux sont principaux. L'anneau des entiers de Gauss est principal. Cette propriété est vraie pour tout anneau euclidien.

Pour s'en rendre compte il suffit de considérer un idéal I quelconque et un élément x différent de 0, de plus petite norme dans I. Si y est un élément quelconque de l'idéal, la division de y par x montre que le reste, élément de l'idéal possède une norme plus petite que x, donc est nul.

Identité de Bézout

Comme dans tout anneau euclidien, l'identité de Bézout se généralise aux entiers de Gauss. Elle s'exprime de la manière suivante:

Soit l'équation a.x + b.y = c où a, b et c sont des entiers de Gauss. Soit d le pgcd de a et b. Alors cette équation admet des solutions dans l'anneau des entiers de Gauss si, et seulement si, c est un multiple de d.

La démonstration est élémentaire, une division par d ramène au cas ou a et b n'ont pas de diviseurs communs autres que les éléments inversibles. L'ensemble des éléments z de la forme z = a.x + b.y est un idéal contenant celui engendré par a et celui engendré par b, il est donc engendré par un diviseur de a et de b, c’est-à-dire une unité. Or l'idéal engendré par une unité est l'anneau entier et 1 est solution de l'équation.

Lemme d'Euclide

Le lemme d'Euclide indique que :

Si un entier de Gauss a divise un produit d'entiers de Gauss b.c et si a n'a de diviseurs en communs avec b que des éléments inversibles, alors a divise c.

La démonstration est la copie exacte du cas des entiers relatifs. Cette propriété est vraie pour tous les anneaux euclidiens.

Gauss est le premier mathématicien ayant saisi la portée de ce lemme. Il garantit l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. Ce lemme rend possible l'arithmétique tel que nous la connaissons dans Z. C'est la raison pour laquelle il prend parfois le nom de lemme de Gauss, alors qu'il était déjà connu depuis plus de deux mille ans.

Théorème fondamental de l'arithmétique

Des nombres premier de Gauss avec "petit" norme.

Le théorème fondamental de l'arithmétique s'énonce encore exactement comme dans le cas des entiers relatifs :

Chaque entier de Gauss peut être écrit comme un produit de nombres premiers aux éléments inversibles près d'une unique façon.

Un nombre premier de Gauss est un élément qui n'admet comme diviseur que le produit de lui-même par une unité ou une unité et qui n'est pas une unité. L'expression aux éléments inversibles près signifie que la substitution d'un facteur irréductible par un autre facteur irréductible ne différant que par le produit d'une unité n'est pas considérée comme une décomposition différente.

Une fois encore la démonstration est la copie exacte du cas des entiers relatifs, et la propriété est vraie pour tous les anneaux euclidiens. Cette propriété dépasse le cas des anneaux euclidiens, par exemple l'anneau des polynômes sur Z vérifie cette propriété mais n'est pas euclidien. Un tel anneau s'appelle un anneau factoriel.

Un anneau satisfaisant ce théorème dispose alors des notions de ppcm et pgcd et le passage au quotient donne accès à une arithmétique modulaire de même nature que celle des entiers relatifs.

La connaissance fine de cette arithmétique suppose une capacité à caractériser les nombres premiers de Gauss.

Voir aussi

Notes

↑ Adrien-Marie Legendre, Théorie des nombres, 1798.
↑ Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, 1801.
↑ Ernst Kummer, Nombres complexes idéaux, 1846
↑ Richard Dedekind, Leçons d'algèbre, 1871
↑ David Hilbert, Théorie algébrique des corps de nombres, 1897

Liens externes

(fr) Entier de Gauss Vincent Lefèvre
(en) Applet de factorisation des entiers de Gauss
(fr) Théorie algébrique des nombres Bas Hedixhoven Université de Rennes 1 2002

Références

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]

v · Carl Friedrich Gauss
Algèbre	Lemme de Gauss • Élimination de Gauss-Jordan • Méthode de Gauss-Seidel • Somme de Gauss • Théorème de d'Alembert-Gauss
Analyse	Algorithme de Gauss-Newton • Théorème de Gauss-Lucas • Fonction gaussienne • Intégrale de Gauss • Méthodes de quadrature de Gauss
Théorie des nombres	Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing • Constante de Gauss • Lemme de Gauss • Entier de Gauss • Loi de réciprocité quadratique
Statistique	Théorème de Gauss-Markov • Fonction de Gauss
Géométrie	Formule de Gauss-Bonnet • Équations de Gauss-Codazzi • Courbure de Gauss
Physique	Théorème de Gauss • Théorème de Gauss en électromagnétisme • Faisceau gaussien

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