Fonction de Gauss

Fonction de Gauss

Fonction d'erreur

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Fonction, Erreur et erf.
Construction de la fonction d'erreur réelle.

En mathématiques, la fonction d'erreur (aussi appelée fonction d'erreur de Gauss) est une fonction utilisée en analyse. Cette fonction se note erf et fait partie des fonctions spéciales.

\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{ \sqrt{\pi} } 
\int_0^z e^{- \zeta^2 } d\zeta

Sommaire

Intérêt de cette fonction

La probabilité pour qu'une variable normale centrée réduite X prenne une valeur dans l'intervalle [-z, z] est

\operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)=\mathbb{P}(X\in[-z, z]).

La fonction de répartition de X, ou fonction de répartition de la loi normale, usuellement notée Φ, est liée à la fonction d'erreur par la relation :

\Phi(z)\ =\ \frac12\left(1+\operatorname{erf}\left(\tfrac{z}{\sqrt{2}}\right)\right)=\mathbb{P}(X\le z),

ou bien encore

\operatorname{erf}(z)\ =\ 2\Phi\left(z\sqrt{2}\right)-1.

La fonction d'erreur intervient également dans l'expression des solutions de l'équation de la chaleur, quand les conditions aux bords sont données par la fonction de Heaviside.

Calcul numérique

L'intégrale ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée mais par un développement en série entière intégré termes à termes. Il existe des tables donnant des valeurs des intégrales, comme fonctions de z, mais aujourd'hui, la plupart des logiciels de calcul numérique (tableurs, Scilab) ou de calcul formel (comme Maple ou MuPAD) intègrent une routine de calcul de erf(x) et de sa réciproque, inverf(x), encore plus utile en calcul de probabilités.

Toutefois, les approximations suivantes peuvent être utiles si l'on programme soi-même une application en langage C ou Fortran :

  • En v(0),\quad \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}.e^{-x^2}. \left ( x + \frac{2}{3} .x^3 + \frac{4}{15} .x^5\right ) + o( x^6.e^{-x^2} ) (avec une erreur inférieure à 6 × 10 − 4 pour x < 0,50)

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + .... + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}) (Développement en série de Taylor)

  • En v(+\infty),\quad \operatorname{erf}(x) = 1 - e^{-x^2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}. \left ( \frac{1}{x}  - \frac{1}{2x^3} + \frac{3}{4x^5} - \frac{15}{8x^7} \right ) + o( x^{-8}.e^{-x^2} ) (avec une erreur inférieure à 2 × 10 − 4 pour x > 1,75)
  • Pour x>0,\quad \sqrt{ 1-e^{-x^2} } \leq \operatorname{erf}(x) \leq \sqrt{1-e^{-4x^2 / \pi}}

(encadrement proposé par J. T. Chu, 1955 ; la borne supérieure approche partout la fonction erf à moins de 7 × 10 − 3 près).

Extensions

Il arrive que la fonction plus générale En définie par :

E_n(z) = n! \int_0^z e^{-\zeta^n}d\zeta

soit utilisée et E2 est appelée erreur intégrale.

D'autres fonctions d'erreurs utilisées en analyse, notamment :

  • La fonction d'erreur complémentaire notée erfc et définie par :


\operatorname{erfc}\left( z \right) = 1 - \operatorname{erf}\left( z \right) =  \frac{2}{ \sqrt{\pi} }\int_z^{\infty}e^{-\zeta^2}d\zeta

  • La fonction ierfc, (opposée de l') intégrale de la fonction d'erreur complémentaire erfc :



\operatorname{ierfc}\left( z \right) = \frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}} - z\cdot\operatorname{erfc}\left( z\right)

Fonction réciproque

Approximations de la fonction d'erreur réciproque (somme jusqu'à k=K)

La fonction d'erreur réciproque intervient parfois dans des formules statistiques. Elle peut être décrite à l'aide d'un développement en séries:

\operatorname{erf}^{-1}(z)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}z\right )^{2k+1}

où c0 = 1 et

c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}

On obtient le développement suivant:

\operatorname{erf}^{-1}(z)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (z+\frac{\pi}{12}z^3+\frac{7\pi^2}{480}z^5+\frac{127\pi^3}{40320}z^7+\frac{4369\pi^4}{5806080}z^9+\frac{34807\pi^5}{182476800}z^{11}+\cdots\right )

Voir aussi

Pages liées

Références

Liens externes


  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Fonction d%27erreur ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction de Gauss de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • fonction de Gauss — Gauso funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Gauss error function; Gauss function vok. Gaußsche Funktion, f rus. гауссова функция, f pranc. fonction de Gauss, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Fonction Gaussienne — Une fonction gaussienne est une fonction en exponentielle de l opposé du carré de l abscisse (une fonction en exp( (x2)). Elle a une forme caractéristique de courbe en cloche. L exemple le plus connu est la densité de probabilité de la loi… …   Wikipédia en Français

  • Fonction d'erreur — Pour les articles homonymes, voir Fonction, Erreur et erf. Construction de la fonction d erreur réelle. En mathématiques, la fonction d erreur (aussi appelée …   Wikipédia en Français

  • Fonction gaussienne —  Ne doit pas être confondu avec la fonction d erreur, également appelée « fonction de Gauss ». Fonction gaussienne pour μ = 0, σ = 1 ; courbe centrée en zéro Une fonction gaussienne e …   Wikipédia en Français

  • Gauss (homonymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Carl Friedrich Gauss (1777 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand. Le gauss, une unité de mesure du champ magnétique, noté G. GAUSS, un… …   Wikipédia en Français

  • Gauss error function — Gauso funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Gauss error function; Gauss function vok. Gaußsche Funktion, f rus. гауссова функция, f pranc. fonction de Gauss, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Gauss function — Gauso funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Gauss error function; Gauss function vok. Gaußsche Funktion, f rus. гауссова функция, f pranc. fonction de Gauss, f …   Fizikos terminų žodynas

  • GAUSS (C. F.) — L’œuvre du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (né à Brunswick, mort à Göttingen) est un monument d’une ampleur et d’une richesse sans égale: non seulement il y a Gauss mathématicien, mais il y a aussi le calculateur, le géodésien,… …   Encyclopédie Universelle

  • Fonction Gamma — Pour les articles homonymes, voir gamma (homonymie). Tracé de la fonction gamma le long de l axe des réels En mathématiques, la fonction g …   Wikipédia en Français

  • Fonction Gamma d'Euler — Fonction gamma Pour les articles homonymes, voir gamma (homonymie). Tracé de la fonction gamma le long de l axe des réels En mathématiques, la fonction g …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”