Analyse (mathématique)

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L'analyse (du grec άναλύειν) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C'est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l'intégration. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes. Cependant, elles peuvent aussi être définies et étudiées dans le contexte plus général des espaces topologiques ou métriques.

Histoire

Dans l'Antiquité et au Moyen Âge respectivement, les mathématiciens grecs et indiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. Pour des raisons historiques, leurs successeurs immédiats ne purent bâtir sur ces acquis.

L'analyse moderne a été fondée au XVII^e siècle avec le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Au XVII^e siècle, les thèmes de l'analyse tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, l'analyse de Fourier et les fonctions engendrées étaient principalement développés dans les travaux appliqués. Les techniques de calcul infinitésimal étaient utilisées avec succès pour approcher des problèmes du discret par des problèmes du continu.

Tout au long du XVIII^e siècle, la définition de fonction était un sujet de débat parmi les mathématiciens. Au XIX^e siècle, Cauchy fut le premier à donner une fondation logique stricte du calcul infinitésimal en introduisant le concept de suite de Cauchy. Il commença aussi la théorie formelle de l'analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres étudièrent les équations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique.

Au milieu du XIX^e siècle, Riemann introduit sa théorie de l'intégration : l'intégrale de Riemann. Durant le troisième tiers du XIX^e siècle, l'analyse se voit arithmétisée par Karl Weierstrass qui pensait que le raisonnement géométrique était en soi fallacieux, il introduit aussi la définition « ε-δ » des limites. Puis les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter du fait qu'ils supposaient sans preuve l'existence d'un continuum de nombres réels. Richard Dedekind construit donc les nombres réels avec les coupures de Dedekind (voir Construction des nombres réels). En même temps, les essais pour affiner les théorèmes de l'intégrale de Riemann ont mené à l'étude de la « taille » des ensembles discontinus de fonctions réelles.

En outre, des « monstres mathématiques » (des fonctions continues nulle part, des fonctions continues mais dérivables nulle part, des courbes de remplissage d'espace) commencèrent à être créés. Dans ce contexte, Marie Ennemond Camille Jordan développa sa théorie sur la mesure. Georg Cantor développa ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie naïve des ensembles. Au début du XX^e siècle le calcul infinitésimal se formalise par la théorie des ensembles. Henri Lebesgue résolut le problème de mesure et David Hilbert introduit les espaces de Hilbert pour résoudre les équations intégrales. L'idée d'espace vectoriel normé était très étudiée dans les années 1920 et Stefan Banach créa l'analyse fonctionnelle.

Sous-divisions

Aujourd'hui l'analyse est divisée parmi les sous-thèmes suivants :

• Analyse complexe : étude des fonctions du plan complexe qui sont dérivables sur l'ensemble des nombres complexes.
• Analyse constructive : recherche d'énoncés et de démonstrations basés sur des principes constructifs et sur la notion d'existence effective.
• Analyse fonctionnelle : étude des espaces des fonctions et introduction de concepts tels que les espaces de Banach et les espaces de Hilbert.
• Analyse harmonique : étude des séries de Fourier et de leurs abstractions.
• Analyse numérique : résolution numérique de problèmes d'analyse tels que la résolution d'equations différentielles (méthode des éléments finis...), le calcul numérique d'une intégrale et l'optimisation.
• Analyse réelle : étude rigoureuse et formelle des dérivées et des intégrales de fonctions à valeurs réelles. En incluant l'étude des limites, des séries potentielles et des mesures.
• Analyse non-standard : l'étude des nombres hyperréels et de leur fonctions.

Bibliographie

• E. Hairer, G. Wanner, L'analyse au fil de l'histoire, Springer, 2000.

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