Matrice nilpotente

Une matrice nilpotente est une matrice dont il existe une puissance égale à la matrice nulle. Elle correspond à la notion d'endomorphisme nilpotent sur un espace vectoriel de dimension finie.

Cette notion facilite souvent le calcul matriciel. En effet, si le polynôme caractéristique d'une matrice est scindé (c'est-à-dire décomposable en produit de facteurs du premier degré, ce qui est le cas par exemple si le corps des coefficients est algébriquement clos) alors l'endomorphisme associé possède une décomposition de Dunford. Ceci permet de se ramener, dans les calculs, à une matrice semblable (obtenue par changement de base via une matrice de passage) plus simple, somme de deux matrices qui commutent, l'une diagonale et l'autre nilpotente. Cette réduction des matrices joue un rôle important dans la résolution de système d'équations linéaires et la résolution d'équations différentielles linéaires.

Dans cet article, les aspects théoriques, ainsi que l'essentiel des démonstrations des propositions énoncées, sont traitées dans l'article Endomorphisme nilpotent.

Sommaire

1 Définition
2 Approche par l'exemple
- 2.1 Nilpotence et polynômes
- 2.2 Nilpotence et base réduite
3 Propriétés
4 Exponentielle d'une matrice nilpotente
- 4.1 Exemple d'exponentielle et de matrice nilpotente
5 Voir aussi

Définition

On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel $p$ tel que $A p$ soit la matrice nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit $p$ tel que $A p = 0$ .

Les notions de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent sont très liées :

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u un endomorphisme et A sa matrice dans une certaine base. A est nilpotente si et seulement si l'endomorphisme est nilpotent, c'est-à-dire qu'il existe p tel que $u p = 0$ , ou $u p$ désigne $u\circ ... \circ u$ et 0 l'endomorphisme nul.

Remarque : si A et B sont deux matrices, alors AB=0 n'implique pas nécessairement que A=0 ou B=0. Par exemple, la matrice $A=\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right) \,$ est nilpotente d'indice 2 c'est-à-dire que $A$ est non nulle mais $A 2 = 0$ .

Approche par l'exemple

Considérons un espace vectoriel réel de dimension 3 avec pour base B = (e₁, e₂, e₃). Considérons alors un endomorphisme u défini par sa représentation matricielle suivante dans la base B :

$u:\;\begin{pmatrix} 3 & 9 & -9\\ 2 & 0 & 0\\3 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

Si nous calculons la représentation matricielle de u² et de u³, on trouve :

$u^2:\;\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 6 & 18 & -18\\6 & 18 & -18 \end{pmatrix}\quad et \quad u^3:\;\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Puisque u³ est l'endomorphisme nul u est bien nilpotent d'indice 3. Son indice est plus petit que la dimension de l'espace. Dans le cas général, l'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace.

Nilpotence et polynômes

Déterminons alors le polynôme caractéristique P[X] de l'endomorphisme u:

$P[X]=\det(u-X\cdot I)=\;\begin{vmatrix} 3-X & 9 & -9\\ 2 & -X & 0\\3 & 3 & -3-X \end{vmatrix}=-X(3-X)(-3-X)-2(9(-3-X)+27)-27X=-X^3$

Nous avons l'égalité P[X] = -X³. Dans le cas où la dimension de l'espace vectoriel est égal à n, une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme soit nilpotent est que son polynôme caractéristique soit égal à (-X)ⁿ.

La théorie des polynômes minimaux nous indique que le calcul du polynôme caractéristique est inutile dans cet exemple. Le polynôme X³ annule l'endomorphisme. Le polynôme minimal est alors un diviseur de ce polynôme. Or le seul diviseur normalisé (c'est-à-dire dont le monôme de plus haut degré est égal à 1) de -X³ qui annule u est lui-même. Le théorème de Cayley-Hamilton nous indique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. Il suffit alors de constater que le polynôme caractéristique est de degré égal à la dimension de l'espace, pour l'obtenir sans calcul. Une condition nécessaire et suffisante pour que l'endomorphisme soit nilpotent est que son polynôme minimal soit de la forme X^p.

Nilpotence et base réduite

Considérons alors le vecteur e₁. Il est d'indice 2 et la famille (e₁, u(e₁), u²(e₁)) est libre. Elle est libre et de cardinal égal à la dimension de l'espace vectoriel. Cette famille est donc une base. Dans cette base, la représentation matricielle de u prend alors la forme suivante:

$u:\;\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Là encore, ces propriétés sont génériques pour un endomorphisme nilpotent. Dans le cas général de dimension n, si x est un vecteur d'indice p alors p est inférieur ou égal à n et la famille (x, u(x),..., u^p(x)) est une famille libre. De plus, il existe toujours une base (e₁, e₂,..., e_n), tel que u(e_i) soit égal, soit à 0 soit à e_i+1, avec u(e_n) = 0. C'est la base réduite pour l'endomorphisme nilpotent.

Propriétés

Représentation réduite

Les matrices nilpotentes possèdent une forme réduite particulièrement simple.

Un bloc de Jordan nilpotent est une matrice qui ne contient que des 0, sauf pour les coefficients ou j est égal à i+1 qui eux valent 1. Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes. Si A est une matrice nilpotente, alors A est semblable à B avec:

$B= \begin{bmatrix} \mathcal{J}_1 & & & & \\ & \mathcal{J}_2 & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \mathcal{J}_r \\ \end{bmatrix} \qquad \mbox{avec} \qquad \mathcal{J}_i= \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & & \\ & 0 & 1 & & (0) & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & \ddots & \ddots & \\ & (0) & & & 0 & 1 \\ & & & & & 0 \\ \end{bmatrix}$

Ce résultat est la conséquence directe de la représentation matricielle d'un endomorphisme nilpotent pour la réduction en dimension finie.

Indice, déterminant, trace

Une autre conséquence des propriétés des endomorphismes nilpotents est la suivante :

L'indice de la matrice nilpotente est égale à la dimension de sa plus grande matrice de Jordan moins 1.

Sa représentation réduite permet de calculer immédiatement son déterminant et sa trace:

Le déterminant et la trace d'une matrice nilpotente sont nuls. Par conséquent toute matrice nilpotente n'est pas inversible et l'ensemble des matrices nilpotentes est de mesure nulle.

Produit et combinaisons linéaires

Si A et B sont deux matrices carrés de même dimension et qui commutent, alors si elles sont nilpotentes, il en est de même de leurs produits et de toutes combinaisons linéaires.

En effet, soit p le plus grand des deux indices de A et B. alors:

$(AB)^p=A^pB^p=0\;$

et, comme soit i soit 2p-i est plus grand ou égal à p:

$(\alpha A+\beta B)^{2p}=\sum_{i\in [0,2p]}C_{2p}^{i}\alpha^i \beta^{2p-i}A^i B^{2p-i}=0\;$

Exponentielle d'une matrice nilpotente

Pour toute matrice A nilpotente, on pose :

$\exp(A):=\sum_{p=0}^{\infty}\frac{1}{p!}A^p$

Cette définition a un sens, puisqu'en considérant une norme matricielle quelconque, la série correspondante à la somme est normalement convergente.

On peut remarquer que si q est l'indice de nilpotence de A, alors :

$\exp(A)=\sum_{p=0}^{q}\frac{1}{p!}A^p$

On peut alors vérifier que, si A est une matrice écrite sous sa forme réduite de Jordan, alors:

$\exp(A)= \begin{bmatrix} \exp(\mathcal{J}_1) & & & & \\ & \exp(\mathcal{J}_2) & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \exp(\mathcal{J}_r) \\ \end{bmatrix} \qquad \mbox{avec} \qquad \exp(\mathcal{J}_i)= \begin{bmatrix} 1 & 1 & \frac{1}{2} & & & \frac{1}{p_i!}\\ & 1 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{j!} & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & \ddots & \ddots & \frac{1}{2} \\ & (0) & & & 1 & 1 \\ & & & & & 1 \\ \end{bmatrix}$

exp(N) est une combinaison linéaire de matrices, donc une matrice. Et on vérifie :

$\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B) \,$ (ssi A et B commutent)

Ainsi, la matrice $\exp(A) \,$ est une matrice inversible. En effet, si A est nilpotent, -A l'est aussi et $\exp(A)\exp(-A)=\exp(A-A)=\exp(0)=I \,$ , ou I désigne la matrice identité. Donc $\exp(A) \,$ est inversible, et son inverse est $\exp(-A) \,$ .

Exemple d'exponentielle et de matrice nilpotente

Pour tout naturel $n$ , l'ensemble $\mathbb{R}_n[x]$ des fonctions polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à $n$ , est un sous-espace vectoriel de dimension $n + 1$ de l'espace vectoriel réel $\R^\R$ . Soit $D$ la matrice de l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[x]$ qui associe à toute fonction polynôme $p$ son polynôme dérivé $\mathrm D(p)=p'\,$ .

Comme $\mathrm D(x^k)=k \; x^{k-1}$ , on en déduit que $D n + 1 = 0$ .

Pour tout réel $a$ , désignons par $T a$ la matrice de l'endomorphisme de $\R_n[x]$ défini par $q = T a (p)$ si et seulement $q (x) = p (x + a)$ , c’est-à-dire $T a (p)(x) = p (x + a)$ . La formule de Taylor permet alors d'écrire la formule $e x p (a D) = T a$ , qu'on peut vérifier en prenant les matrices de $D$ et de $T a$ dans la base canonique $(1, x, x 2,..., x n)$ .

Voir aussi

v · Matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • conjuguée • adjointe • inverse • comatrice
En relation	équivalentes • semblables • congruentes
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • positive • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac • de Householder
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • Cholesky • polaire • valeurs singulières Diagonalisation • Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire • Algèbre bilinéaire

Liens internes

Liens externes

Réduction des matrices

Références

Serge Lang Algèbre Dunod
Rached Mneimné, Réduction des endomorphismes, Paris, Calvage et Mounet, coll. « Tableau noir », 28 avril 2006, 376 p. (ISBN 978-2-916352-01-5)

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