Matrice transposée

Matrice transposée

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice A \in \mathcal{M}_{n,m}(K) est la matrice notée ^{\operatorname t}\!A\in \mathcal{M}_{m,n}(K) (aussi parfois notée A^{\operatorname T}\,, notation recommandée par la norme ISO 31-11, ou A^{\operatorname t}\,), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.

Si B = tA alors \forall(i,j)\in\{1,\ldots,m\}\times\{1,\ldots,n\},\qquad b_{i,j} = a_{j,i}.

Exemple : si A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} alors ^{\operatorname t}\!A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}.

Sommaire

Propriétés

  • L'application « transposition » est linéaire :
^{\operatorname t}\!(A + B) = ^{\operatorname t}\!A + ^{\operatorname t}\!B,\quad ^{\operatorname t}\!(aA) = a\ ^{\operatorname t}\!A.
  • La transposée de tA est A. Autrement dit, l'application « transposition » ^{\operatorname t}\!:\mathcal{M}_{n,m}(K) \to \mathcal{M}_{m,n}(K)\, est une involution. Elle est par conséquent (non seulement linéaire, mais aussi) bijective. C'est donc un isomorphisme.
  • La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :
^{\operatorname t}\!(A \cdot B) = ^{\operatorname t}\!B \cdot ^{\operatorname t}\!A.
  • Si une matrice est inversible (donc carrée) alors la transposée de son inverse est égale à l'inverse de sa transposée :
^{\operatorname t}\!(A^{-1}) = (^{\operatorname t}\!A)^{-1}.~
  • Si A désigne une matrice carrée de dimension n et B sa transposée, alors A et B ont même diagonale principale (et par conséquent également la même trace) :
    \forall i \in\{1,\ldots,n\},\qquad b_{i,i} = a_{i,i}.
En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.

Interprétation : dualité

Espaces euclidiens

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire f:E→F par rapport à deux bases orthonormales BE, BF alors sa transposée tA représente la matrice, dans les bases BF, BE, de son opérateur adjoint f*:F→E, caractérisé par :

\forall x\in E,\forall y\in F, \quad \langle x,f^*(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée tA représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).

Hypergraphes

Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.

Note

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice transposée de Wikipédia en français (auteurs)

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