Transposée
- Transposée
-
Matrice transposée
La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice
est la matrice notée
(parfois aussi notée AT,
ou A * ), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
La première notation, avec le t avant le nom de la matrice, est la notation utilisée en France, celle où le t se situe après le nom de la matrice à transposer est une notation américaine. Il est donc préférable de savoir d'où proviennent les exercices !
Si
, alors
.
Exemple :
alors 
Propriétés
Démonstration
t est linéaire (revenir à la définition). De plus,
A=0" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/97/a2088a15bb00152a7bbe77e87714c99f.png" border="0">, donc t est injective. Les espaces de départ et d'arrivée sont les mêmes (et ont la même dimension nm), donc c'est un isomorphisme.
- La transposée de la somme de deux matrices est égale à la somme des transposées de ces deux matrices :

- La transposée du produit de deux matrices est égale au produit inversé des transposées de ces deux matrices :

- La transposée de l'inverse d'une matrice carrée est égale à l'inverse de la transposée de cette même matrice :

- Si A désigne une matrice carrée de dimension n et B sa transposée, alors
.
- Une matrice égale à sa transposée est appelée matrice symétrique.
Interprétation : dualité
Si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée
représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).
Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases orthonormales, alors sa transposée
représente la matrice de l'application adjointe.
Voir aussi
Articles en rapport avec les matrices |
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En relation |
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2010.
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