Matrice triangulaire

Matrice triangulaire

En algèbre linéaire, les matrices triangulaires sont des matrices carrées dont une partie triangulaire des valeurs, délimitée par la diagonale principale, est nulle.

Sommaire

Matrices triangulaires supérieures

Ce sont des matrices carrées dont les valeurs sous la diagonale principale sont nulles :

A = (a_{i,j}) = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & \cdots & a_{1,n}\\ 0 & a_{2,2} & & & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}

A est triangulaire supérieure si et seulement si :

\forall i>j,\quad a_{i,j}=0

Matrices triangulaires inférieures

Ce sont les matrices carrées dont les valeurs au-dessus de la diagonale principale sont nulles :

A = (a_{i,j}) = \begin{pmatrix} a_{1,1} & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & 0\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & \cdots & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}

A est triangulaire inférieure si et seulement si :

\forall i<j,\quad a_{i,j}=0

Propriétés des matrices triangulaires

  • Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale.
  • Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure).
  • Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K.
  • La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une triangulaire inférieure, et vice-versa.
  • Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A est supérieure, inférieure sinon).
  • Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses termes diagonaux, par invariance de similitude du polynôme caractéristique .
  • Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux :
\det\left((a_{i,j})_{(i,j)\in[\![1;n]\!]^2}\right) = \prod_{i=1}^n a_{i,i} (résultat qui se montre aisément par récurrence sur la taille de la matrice.)

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