Algèbre sur un corps

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En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A , + , . , × ) telle que :

(A, +, ·) est un espace vectoriel sur K,
la loi × est définie de A x A dans A (loi de composition interne)
la loi × est distributive par rapport à la loi + .
pour tout (a, b) dans K² et pour tout (x, y) dans A², (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Sommaire

1 Définitions
2 Généralisation
3 Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères
4 Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps
5 Exemples d'algèbres de dimension finie
6 Contre-exemple
7 Voir aussi
8 Notes et références

Définitions

Soient K un corps commutatif et A un espace vectoriel sur K muni de plus d'une opération binaire (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A). On dit que A est une algèbre sur K si cette opération binaire est distributive par rapport à + et bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

$(x + y) z = x z + y z~,$
$x ( y + z) = x y + x z~,$
$(a x) (b y) = (a b) (x y)~.$

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Deux algèbres A et B sur K sont isomorphes s'il existe une bijection $f:A\to B$ telle que

$\forall x,y\in A,~\forall a\in K,~f(xy) = f(x) f(y)\text{ et }f(x+ay) = f(x) + af(y)~.$

Généralisation

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

Article détaillé : algèbre sur un anneau.

Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères

Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne x est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une

algèbre associative sur un corps (article détaillé).

Une algèbre est dite unifère si elle admet un élément neutre 1 pour la multiplication x. Une algèbre est dite commutative, si la loi de composition interne x est commutative.

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps

Tout espace vectoriel admet une base. Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel^[1].

Si $a=(a_i)_{i\in I}$ est une base de A, il existe alors une unique famille $(c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I}$ d'éléments du corps K tels que :

$\displaystyle a_i\times a_j=\sum_{k\in I} c_{i,j}^k a_k$ .

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que $(c_{i,j}^k)_{i,j,k \in I}$ sont les constantes de structure^[1] de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations $a_i\times a_j=\sum_{k\in I} c_{i,j}^k a_k$ constituent la table de multiplication de l'algèbre A^[1].

Exemples d'algèbres de dimension finie

Algèbres associatives et commutatives

L'ensemble des nombres complexes $(\mathbb C, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2.

Une base de l'algèbre $\mathbb C$ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

$1\times 1=1$ ,	$1\times i=i$ ,
$i\times 1=i$ ,	$i\times i=-1$

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier ( $\mathbf F_p=\mathbf Z / p\mathbf Z$ ), donc son ordre est $p n$ .

Par exemple le corps fini $\mathbf F_4$ est une algèbre de dimension 2 sur le corps $\mathbf F_2=\mathbf Z / 2\mathbf Z$ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

$1\times 1=1$ ,	$1\times a=a$ ,
$a\times 1=a$ ,	$a\times a=1+a$

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative^[2]. Sa table de multiplication dans une base (1, $x$ ) est de la forme :

$1\times 1=1$ ,	$1\times x=x$ ,
$x\times 1=x$ ,	$x 2 = a 1 + b x$

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type dépendant de la base choisie).

Algèbres associatives et non commutatives

L'ensemble des matrices carrées d'ordre $n\geqslant2$ à valeur dans $\mathbb R$ , $\left(\mathcal M_n(\mathbb R), +,\cdot, \times \right)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative, unifère et non commutative de dimension $n 2$ .
L'ensemble des quaternions $(\mathbb H, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.
L'ensemble des biquaternions $(\mathbb B, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb C$ -algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre $\left(\mathcal M_2(\mathbb C), +,\cdot, \times \right)$ des matrices matrices carrées d'ordre 2 à valeur dans $\mathbb C$ .

Algèbre unifère non associative

L'ensemble des octonions $(\mathbb O, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifères

L'espace euclidien $\mathbb R^3$ muni du produit vectoriel $(\mathbb R^3, +,\cdot, \wedge)$ est une $\mathbb R$ - algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ ) est :

$\vec{u}\wedge\vec{u} =\vec{0}$ ,	$\vec{u}\wedge\vec{v} =\vec{w}$ ,	$\vec{u}\wedge\vec{w} =-\vec{v}$ ,
$\vec{v}\wedge\vec{u} =-\vec{w}$ ,	$\vec{v}\wedge\vec{v} =\vec{0}$ ,	$\vec{v}\wedge\vec{w} =\vec{u}$ ,
$\vec{w}\wedge\vec{u} =\vec{v}$ ,	$\vec{w}\wedge\vec{v} =-\vec{u}$ ,	$\vec{w}\wedge\vec{w} =\vec{0}$ ,

L'ensemble des matrices carrées d'ordre $n\geqslant2$ à valeur dans $\mathbb R$ , muni du crochet de Lie : $[M, N] = M N - N M$ , $\left(\mathcal M_n(\mathbb R), +,\cdot, [,] \right)$ est une $\mathbb R$ - algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension $n 2$ . Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exemple

L'ensemble des quaternions $(\mathbb H, +,\cdot, \times)$ n'est pas une $\mathbb C$ -algèbre car la multiplication $\times$ n'est pas $\mathbb C$ -bilinéaire : $i\cdot (j\times k)\neq j\times (i\cdot k)$ .

Voir aussi

Notes et références

↑ ^{a, b et c} N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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