- Algèbre sur un corps
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En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A , + , . , × ) telle que :
- (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K,
- la loi × est définie de A x A dans A (loi de composition interne)
- la loi × est distributive par rapport à la loi + .
- pour tout (a, b) dans K2 et pour tout (x, y) dans A2, (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)
Sommaire
Définitions
Soient K un corps commutatif et A un espace vectoriel sur K muni de plus d'une opération binaire (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A). On dit que A est une algèbre sur K si cette opération binaire est distributive par rapport à + et bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :
On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.
Deux algèbres A et B sur K sont isomorphes s'il existe une bijection
telle que
Généralisation
Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.
Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères
Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne x est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une
Une algèbre est dite unifère si elle admet un élément neutre 1 pour la multiplication x. Une algèbre est dite commutative, si la loi de composition interne x est commutative.
Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps
Tout espace vectoriel admet une base. Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel[1].
Si
est une base de A, il existe alors une unique famille
d'éléments du corps K tels que :
.
Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que
sont les constantes de structure[1] de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations
constituent la table de multiplication de l'algèbre A[1].
Exemples d'algèbres de dimension finie
- Algèbres associatives et commutatives
- L'ensemble des nombres complexes
est une
- algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2.
Une base de l'algèbre
est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :
,
,
,
- Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (
), donc son ordre est pn.
Par exemple le corps fini
est une algèbre de dimension 2 sur le corps
dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :
,
,
,
- On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative[2]. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :
,
,
,
x2 = a1 + bx Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type dépendant de la base choisie).
- Algèbres associatives et non commutatives
- L'ensemble des matrices carrées d'ordre
à valeur dans
,
est une
- algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n2.
- L'ensemble des quaternions
est une
- algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.
- L'ensemble des biquaternions
est une
-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre
des matrices matrices carrées d'ordre 2 à valeur dans
.
- Algèbre unifère non associative
- L'ensemble des octonions
est une
- algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.
- Algèbres non associatives et non unifères
- L'espace euclidien
muni du produit vectoriel
est une
- algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.
La table de multiplication dans une base orthonormale directe (
,
,
) est :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
- L'ensemble des matrices carrées d'ordre
à valeur dans
, muni du crochet de Lie : [M,N] = MN − NM,
est une
- algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n2. Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.
Contre-exemple
- L'ensemble des quaternions
n'est pas une
-algèbre car la multiplication
n'est pas
-bilinéaire :
.
Voir aussi
Notes et références
- N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.
- N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.
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