Algèbre associative sur un corps

Algèbre associative sur un corps

En mathématiques, une algèbre associative sur un corps (commutatif) est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité, de bilinéarité et d'associativité. Autrement dit, c'est à la fois une algèbre associative et une algèbre sur un corps.

Sommaire

Définition

Une algèbre associative A sur un corps commutatif \mathbb{K} est un espace vectoriel sur \mathbb{K} muni d'une multiplication bilinéaire A\times A \to A telle que

  • (x y) z = x (y z) pour tous x, y et z dans A,

où l'image de (x,y) est notée xy.

Si A contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour tout x dans A, alors A est appelée algèbre associative unifère ou unitaire. Une telle algèbre est un anneau et contient le corps de base \mathbb{K} par identification de c dans \mathbb{K} avec c1 dans A.

La dimension d'une algèbre associative A sur un corps \mathbb{K} est sa dimension comme espace vectoriel sur \mathbb{K}.

Exemples

  • Les matrices carrées de taille n, à coefficients dans un corps commutatif \mathbb{K}, forment une algèbre associative unitaire sur \mathbb{K}.
  • Les nombres complexes \mathbb{C} forment une algèbre associative unitaire de dimension 2 sur le corps \mathbb{R} des nombres réels.
  • Les quaternions forment une algèbre associative unitaire de dimension 4 sur le corps des nombres réels.
  • Les polynômes à coefficients dans \mathbb{K} forment une algèbre associative unitaire de dimension infinie sur \mathbb{K}.
  • Pour tout espace vectoriel V, les endomorphismes de V forment une algèbre associative unitaire.
  • Les algèbres symétriques et les algèbres extérieures d'un espace vectoriel sont des algèbres associatives.
  • Les algèbres enveloppantes des algèbres de Lie sont des algèbres associatives.
  • Les algèbres d'incidence des ordres partiels localement finis sont des algèbres associatives utilisées en combinatoire.

Contre-exemples

  • Les algèbres de Lie sont des algèbres non associatives.
  • L'ensemble des octonions (\mathbb O, +,\cdot, \times) est une \mathbb R-algèbre unifère non associative et non commutative.

Voir aussi


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