Crochet De Lie

Crochet De Lie

Crochet de Lie

Le crochet de Lie est une loi de composition interne [,] sur un espace vectoriel V, qui lui confère une structure d'algèbre de Lie. Le commutateur [u,v]=uv-vu de deux endomorphismes en constitue un des exemples les plus simples.

Le nom de crochet de Lie, ou simplement crochet, est souvent employé pour le crochet de Lie de deux champs de vecteurs sur une variété différentielle.

Sommaire

Définition générale

Article détaillé : algèbre de Lie.

Soit un espace vectoriel V sur un corps \mathbb K. Le crochet de Lie est une loi de composition interne sur V, vérifiant les propriétés suivantes :

  1. antisymétrie : \forall x,y\in V, [x,y]+[y,x]=0 .L'antisymétrie implique [x,x] = 0 pour tout corps pour lequel 2\neq 0
  2. bilinéarité : \forall x,x',y,y'\in V,\lambda\mu\in\mathbb K, [\lambda x+x', y]=\lambda[x,y]+[x',y],[x,y+\mu y']=[x,y]+\mu[x,y'] ;Si on combine la bilinéarité avec l'antisymétrie [λx + x',y] = − [y,λx + x'] on peut résumer de la façon suivante et ne vérifier la linéarité que sur une seule composante:[λx + x',y] = λ[x,y] + [x',y]
  3. relation de Jacobi : \forall x,y,z\in V, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.

Muni du crochet, l'espace vectoriel devient une algèbre de Lie.

Crochet de Lie de deux champs de vecteurs

Article détaillé : dérivée de Lie.

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X . f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X,Y], tel que, pour toute fonction f indéfiniment dérivable,

[X,Y]\cdot f = X\cdot (Y\cdot f) -Y \cdot (X\cdot f)

On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [,] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs. Voir pour les démonstrations l'article dérivée de Lie.

Lorsque deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.

Bibliographie

  • Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Presses Universitaires de France, 1979.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Crochet de Lie ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Crochet De Lie de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Crochet de lie — Le crochet de Lie est une loi de composition interne [,] sur un espace vectoriel V, qui lui confère une structure d algèbre de Lie. Le commutateur [u,v]=uv vu de deux endomorphismes en constitue un des exemples les plus simples. Le nom de crochet …   Wikipédia en Français

  • Crochet de Lie — Le crochet de Lie est une loi de composition interne sur un espace vectoriel V, qui lui confère une structure d algèbre de Lie. Le commutateur [u,v]=uv vu de deux endomorphismes en constitue un des exemples les plus simples. Le nom de crochet de… …   Wikipédia en Français

  • Crochet De Poisson — En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables A et B, c est à dire de deux fonctions sur l espace des phases, par : où les 2N variables canoniques sont  …   Wikipédia en Français

  • Crochet de poisson — En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables A et B, c est à dire de deux fonctions sur l espace des phases, par : où les 2N variables canoniques sont  …   Wikipédia en Français

  • Crochet de Poisson — Pour les articles homonymes, voir Poisson (homonymie). En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables A et B, c est à dire de deux fonctions sur l espace des phases, par  …   Wikipédia en Français

  • Crochet — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Crochet », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) …   Wikipédia en Français

  • Crochet (Typographie) — Pour les articles homonymes, voir crochet. [ ] Ponctuation Accolades ( { } ) · Parenthèses ( ( ) )  Chevrons ( < > ) …   Wikipédia en Français

  • LIE (S.) — À la fin du XIXe siècle, le mathématicien norvégien Marius Sophus Lie a posé les fondements d’une des théories les plus centrales des mathématiques contemporaines, la théorie des groupes de Lie, dont la puissance s’est révélée considérable, et… …   Encyclopédie Universelle

  • crochet — (kro chè ; le t ne se lie pas dans le parler ordinaire ; au pluriel, l s se lie : des kro chè z aigus ; crochets rime avec traits, jamais, paix, succès) s. m. 1°   Petit croc. Un crochet de fer. Cette porte, ce volet est retenu en dedans par un… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Crochet (typographie) — Pour les articles homonymes, voir crochet.  Ne doit pas être confondu avec coche (typographie) …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”