Structure algebrique

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d'être formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes.

Les structures algébriques peuvent être examinées à l'aide de l'algèbre universelle, qui en exhibe un modèle universel (ou presque). Leurs propriétés communes y sont traitées de manière unifiée, ce qui évite de recommencer leur étude à chaque nouveau type rencontré. Il n'en demeure pas moins utile de dresser une liste des structures algébriques usuelles et de les classer. C'est précisément l'objet de cet article.

Sommaire 1 Structures algébriques pures 1.1 Structures de base 1.1.1 Magmas 1.1.2 Annélides 1.2 Structures à opérateurs externes 1.2.1 Espaces homogènes 1.2.2 Moduloïdes 1.2.3 Algèbres 1.2.4 Bialgèbres 2 Structures algébriques ordonnées 2.1 Groupes ordonnés et anneaux ordonnés 2.2 Treillis 3 Structures algébriques topologiques 3.1 Structures et topologies, distances, normes ou produits scalaires 3.2 Structures et géométrie différentielle et algébrique 4 Structures algébriques et catégories 5 Voir aussi

Structures algébriques pures

Ces structures ne comportent que des lois de composition.

Structures de base

Elles ne comportent que des lois de composition internes. Les plus importantes sont les structures de groupe, d’anneau et de corps.

Magmas

Ce sont les structures algébriques les plus simples. Elles ne comportent qu’une loi de composition interne.

Attention : les magmas sont parfois appelés groupoïdes, mais ce terme de groupoïde a un autre sens en théorie des catégories.

• Paragroupe : un magma permutatif, commutatif et régulier.

  Exemple : la loi qui associe à deux points leur isobarycentre (ou milieu) forme un paragroupe idempotent dans chaque espace affine.

• Antigroupe : un magma permutatif, régulier et involutif à droite.

  Exemple : l'ensemble des entiers relatifs muni de la soustraction définit un antigroupe.

• Quasigroupe : un magma symogène.

  autre définition : magma respectant le « lemme de réarrangement » :

  Chaque élément du magma apparait une et une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne de la table de sa loi.

  (Ainsi, la table de la loi d'un quasigroupe fini est un carré latin).

• Boucle : un quasigroupe unifère, c’est-à-dire possèdant un élément neutre.
• Moufang : une boucle neutroactive.
• Demigroupe : un magma associatif.
• Monoïde : un magma associatif et unifère.
• Semigroupe: un magma associatif, unifère et régulier.

  Exemple : l'ensemble des entiers naturels muni de l'addition forme un semigroupe commutatif.

• Groupe : un monoïde inversible, c’est-à-dire où tout élément possède un inverse; c’est aussi une boucle associative, donc un quasigroupe associatif et unifère.

  La table de sa loi respecte donc le lemme de réarrangement.

• Groupe abélien : un groupe commutatif.

Annélides

Ces structures comportent deux lois de composition internes.

• Pseudo-anneau : un ensemble muni d’une structure de groupe (la loi de composition étant nommée addition) et d’une structure de semi-groupe (la loi de composition correspondante étant nommée multiplication), la multiplication étant distributive sur l’addition.

• Anneau : un pseudo-anneau dont le semi-groupe multiplicatif est un monoïde. Certains auteurs appellent anneau ce que l'on a appelé pseudo-anneau et appellent anneau unitaire ce que l'on a appelé anneau.

• Anneau commutatif : anneau dont la multiplication est commutative.

• Semi-anneau : similaire à un anneau, mais pour l'addition il est un monoïde et pas nécessairement un groupe.

• Anneau intègre: un anneau commutatif non nul et sans diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de l'anneau est régulier pour la multiplication.

• Corps : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul a un inverse multiplicatif. À cause de l’influence anglaise (voir ci-dessous), un corps est souvent considéré comme implicitement commutatif, alors que dans la tradition française, il ne l'est pas nécessairement. Pour éviter toute ambiguïté, il vaut mieux indiquer :

- « corps commutatif » pour un corps effectivement commutatif,

- et « corps commutatif ou non », ou « corps quelconque », pour un corps non nécessairement commutatif.

• Corps commutatif, corps non commutatif : dans la tradition française un « corps » n’est pas nécessairement commutatif ; en anglais, un corps commutatif est appelé field, et un corps non commutatif division ring. Un glissement de sens tend à aligner la terminologie française sur la terminologie anglaise et à qualifier les corps non commutatifs d' « anneaux à (ou de) division » et les corps commutatifs de « corps » tout court. Cette dernière appellation est à éviter car elle amène désormais une ambiguïté : le « corps » considéré est-il commutatif ou quelconque ?

Structures à opérateurs externes

Ces structures peuvent être considérées d’un point de vue algébrique ou géométrique.

Algébriquement, une structure externe est un ensemble muni d’une loi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurs lois de composition interne.

Géométriquement, c’est un ensemble E sur lequel agit un ensemble-opérateur S, encore appelé ensemble des opérateurs ou scalaires. Pour cela, l'ensemble E est muni d’une action, c’est-à-dire d’une application de S dans E^E (ensemble des transformations de E, c'est-à-dire des applications de E dans E).

La correspondance entre les actions et les lois externes est bijective; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appelées lois d’action.

Espaces homogènes

Ces structures ne comportent qu'une seule loi, qui est externe.

• M-ensemble : ensemble E sur lequel un monoïde M opère, c'est-à-dire ensemble muni d'une loi externe à opérateurs dans M, exo-associative et exo-unifère.

A cette loi externe, correspond de manière unique une action de M dans E^E (ensemble des transformations de E, voir ci-dessus).

• Espace homogène : ensemble sur lequel un groupe G opère transitivement, c'est-à-dire :

• G-ensemble où la RTID de la loi externe est applicative,
• ou encore, G-ensemble dont l'action liée à la loi externe n'associe que des transformations surjectives aux éléments de G.

Moduloïdes

Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe.

• Groupe à opérateurs (dans un ensemble) : groupe muni d’une loi externe sur un ensemble d’opérateurs, distributive par rapport à la loi du groupe

• Module à gauche (sur un anneau) : groupe abélien muni d’une loi externe sur un anneau A, loi vérifiant les quatre propriétés suivantes :

• distributivité à gauche par rapport à la loi du groupe,
• exo-distributivité à gauche par rapport à la première loi de l'anneau,
• exo-associativité à gauche par rapport à la seconde loi de l'anneau
• et exo-absorption à gauche, l'élément absorbant étant l'élément neutre du groupe, et le scalaire assurant cette absorption étant l'élément neutre de la première loi de l'anneau (on peut établir une analogie avec ce qui se passe dans un corps, où l'élément neutre de la première loi est absorbant pour la seconde loi).

• Module à droite (sur un anneau) : module sur un anneau opposé à un anneau muni d'un module à gauche.

• Module (sur un anneau) : module à gauche sur un anneau A commutatif. En fait, dans ce cas, les notions de module à droite et à gauche se confondent.

• Espace vectoriel à gauche (sur un corps) : module à gauche sur un corps K.

• Espace vectoriel à droite (sur un corps) : module à droite sur un corps K. En d'autres termes, les espaces vectoriels à droite sur K sont les espaces vectoriels sur le corps opposé à K.

• Espace vectoriel (sur un corps) : module sur un corps K commutatif.

• Espace affine (sur un corps) : espace homogène d'un espace vectoriel sur un corps K. Si la caractéristique de K est différente de 2, il existe une définition des espaces affines sur ce corps indépendante de la notion d'espace vectoriel. Un espace affine est alors un ensemble muni de deux lois :

• l'une, interne, pour laquelle il est un paragroupe (dans le cas d'un espace affine euclidien, il s'agit de la loi milieu, qui à deux points, associe leur milieu géométrique);
• l'autre, externe, qui vérifie des propriétés analogues à celles de la loi externe d'un module (dans le cas d'un espace affine euclidien, cette loi externe, qui dépend du choix d'un point arbitraire O, associe à un point P et un scalaire x le résultat de l'application à P de l'homothétie affine de rapport x et d'origine O).

Algèbres

Structures possédant deux lois internes et une loi externe.

• Algèbre (sur un anneau commutatif) : un module (ou un espace vectoriel) muni en plus d’une loi de composition interne bilinéaire.

• Algèbre associative : une algèbre dont la multiplication est associative.

• Algèbre commutative : une algèbre dont la multiplication est commutative.

• Algèbre associative unitaire : algèbre associative ayant un élément neutre pour la multiplication.

• Algèbre de Lie : un type particulier d’algèbre généralement non associative, importante dans l'étude des groupes de Lie.

• Algèbre de Jordan : un type particulier d’algèbre généralement non associative.

Bialgèbres

Structures possédant deux lois internes, une loi externe, et une loi "duale" de l'une des deux lois internes.

• Algèbre de Hopf

Structures algébriques ordonnées

Groupes ordonnés et anneaux ordonnés

On s'intéresse ici aux structures algébriques compatibles avec une relation d'ordre.

• Un monoïde ordonné est un monoïde commutatif muni d'une relation d'ordre pour laquelle les applications partielles de la loi interne sont croissantes. On définit de même des monoïdes préordonnés en remplaçant les relations d'ordre par des relations de préordre.

• Un groupe ordonné est un monoïde ordonné qui est un groupe commutatif. Un groupe préordonné est un monoïde préordonné qui est un groupe.

• Un anneau ordonné est un anneau commutatif muni d'une relation d'ordre pour laquelle il est groupe ordonné pour l'addition et tel que le produits de deux éléments supérieurs ou égaux à 0 sont supérieurs ou égaux à 0.

• Un corps ordonné est un anneau ordonné qui est un corps et dont la relation d'ordre est totale.

Treillis

Ensembles munis de deux lois internes, qui peuvent aussi s’interpréter comme la borne supérieure et la borne inférieure des couples au sens des relations d'ordre.

• Treillis : un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et idempotentes satisfaisant la loi d’absorption.

• Algèbre de Boole : un treillis borné, distributif et complémenté.

Structures algébriques topologiques

Structures et topologies, distances, normes ou produits scalaires

Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnelles topologiques.

Ainsi, en allant du général au particulier (topologie > distance > norme > produit scalaire) :

• Une structure algébrique peut être munie d'une topologie, devenant ainsi un espace topologique pour lequel chacune de ses lois externes et internes sont continues.

• Un semi-groupe topologique est un semi-groupe muni d'une topologie rendant continue sa loi de composition interne.
• Un monoïde topologique est un semi-groupe topologique unifère. C'est aussi un monoïde muni d'une topologie rendant continue sa loi de composition interne.
• Un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie rendant continue sa loi de composition interne, ainsi que l'application qui à tout élément du groupe associe son inverse.
• Un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie pour laquelle le groupe additif sous-jacent est un groupe topologique et le monoïde multiplicatif sous-jacent est un monoïde topologique.
• Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui en fait un anneau topologique et pour laquelle le groupe multiplicatif des éléments non nuls est un groupe topologique.
• Un corps valué est un corps (commutatif ou non) muni d'une valeur absolue. C'est un corps topologique pour la topologie définie par cette valeur absolue.
• Un module topologique sur un anneau topologique A est un module sur A muni d'une topologie pour laquelle il est un groupe topologique et pour laquelle la loi externe est continue.
• Un espace vectoriel topologique sur un corps topologique (par exemple le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes) est un module topologique sur ce corps topologique.
• Une algèbre topologique sur un anneau topologique commutatif A est une algèbre sur cet anneau topologique A, munie d'une topologie pour laquelle elle est un module topologique sur A et pour laquelle la multiplication est continue.

• Autre exemple, la structure algébrique peut être munie d'une semi-distance, devenant un espace semimétrique :

• Les espaces semi-normés (ou espaces vectoriels semi-normés) sont des espaces vectoriels réels ou complexes (ou sur un corps valué non discret) munis d'une semi-norme. Les espaces semi-normés sont des espaces semi-métriques, car il est toujours possible de construire une semi-distance à partir d’une semi-norme : on prend comme semi-distance entre deux vecteurs la semi-norme de leur différence.

• Plus particulièrement, la structure algébrique peut être munie d'une distance, devenant un espace métrique :

• Un cas important est celui des espaces vectoriels possédant une norme, qui définit la « longueur » d’un vecteur :

• Les espaces normés (ou espaces vectoriels normés) sont des espaces vectoriels réels ou complexes (ou sur un corps valué non discret) munis d'une norme. Les espaces normés sont des espaces métriques, car il est toujours possible de construire une distance à partir d’une norme : on prend comme distance entre deux vecteurs la norme de leur différence.
• Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.

• Un espace affine normé est un espace affine attaché à un espace vectoriel normé. C'est un espace métrique : il est possible de définir la distance entre deux points comme la norme du vecteur qui va du premier point au second.
• Les espaces préhilbertiens sont des espaces vectoriels réels ou complexes munis d'un produit scalaire. Ces espaces vectoriels sont des espaces normés : la norme d'un vecteur y est la racine carrée de son carré scalaire. Quelques cas importants ont reçu un nom :

• Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel préhilbertien réel de dimension finie, muni d’un produit scalaire dont la forme quadratique correspondante est définie positive. Un espace affine euclidien est un espace affine attaché à un espace vectoriel euclidien, muni de la distance, dite euclidienne, déduite de la norme euclidienne. Cet espace est celui de la géométrie classique d’ Euclide.
• Un espace vectoriel hermitien est un espace vectoriel préhilbertien complexe de dimension finie.
• Un espace de Hilbert (ou espace hilbertien) est un espace préhilbertien complet. C’est donc un espace de Banach particulier. Les espaces vectoriels euclidiens et hermitiens sont des exemples d'espaces de Hilbert.

Structures et géométrie différentielle et algébrique

• Un groupe de Lie réel ou complexe est un groupe muni d'une structure de variété analytique réelle ou complexe (ou de variété différentielle dans le réel, c'est suffisant) pour laquelle la loi de composition est analytique (ou indéfiniment différentiable dans le cas réel), ainsi que l'appelle qui à un élément associe son inverse. Les groupes de Lie réels et complexes sont des groupes topologiques. Un groupe topologique est le groupe topologique sous-jacent à au plus un groupe de Lie réel, et ainsi on peut dire, sans ambiguïté, que certains groupes topologiques sont des groupes de Lie réels. On peut aussi définir les groupes de Lie sur un corps valué complet commutatif K dont la valeur absolue est non triviale (en particulier sur le corps des nombres p-adiques) en remplaçant les variétés analytiques réelles ou complexes par les variétés K-analytiques.

• Un espace homogène de Lie d'un groupe de Lie réel G est une variété différentielle X, munie d'un loi externe de G sur X qui est indéfiniment différentiable.

• Un groupe algébrique sur un corps algébriquement clos K est un groupe muni d'une structure de variété algébrique sur K pour laquelle la loi de composition est régulière, ainsi que l'application qui à un élément associe son inverse.

Structures algébriques et catégories

Toute structure algébrique possède sa propre notion d’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit une catégorie.

Voir aussi

• Algèbre générale
• Algèbre universelle
• Procédure de Knuth et Bendix

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