Algèbre sur un anneau commutatif

Algèbre sur un anneau commutatif: Algèbre sur un corps

En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit:

$(E, \mathbb K, +,\cdot, \times)$ est une algèbre sur un corps $\mathbb K$ , ou autrement dit une $\mathbb K$ - algèbre si :

(E, +, ·) est un espace vectoriel sur $\mathbb K$

la loi × est définie de E x E dans E (loi de composition interne)

la loi × est distributive, à gauche et à droite, par rapport à la loi + .

pour tout (a, b) dans $\mathbb K^2$ et pour tout (x, y) dans $E 2$ , (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Sommaire

1 Définitions

2 Propriétés

3 Exemples

4 Voir aussi

Définitions

Soient $\mathbb K$ un corps et A un espace vectoriel sur $\mathbb K$ contenant l'opération binaire (c'est-à-dire $\forall x, y \in A, xy\,$ , est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que $\forall x, y, z \in A\,$ (vecteurs) et $\forall a, b \in \mathbb K\,$ (scalaires), ces identités sont vraies :

$(x + y) z = x z + y z\,$ ;

$x ( y + z) = x y + x z\,$ ;

$(a x) (b y) = (a b) (x y)\,$ ,

alors A est une algèbre sur $\mathbb K$ . On dit que A est une $\mathbb K$ -algèbre où $\mathbb K$ est la base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

$\mathbb K$ peut être un anneau commutatif, dans ce cas, A et $\mathbb K$ forment un module. Dans ce cas, A est une $\mathbb K$ -algèbre et $\mathbb K$ est l'anneau de base de A.

Deux algèbres A et B sur $\mathbb K$ sont isomorphes s'il existe une bijection $f : A \rightarrow B$ telle que $f (x y) = f (x) f (y)$ $\forall x,y \in A$ .

Propriétés

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Exemples

L'ensemble des nombres complexes $(\mathbb C, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et commutative.

L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à valeur dans $\mathbb R$ $\left(\mathcal M_n(\mathbb R), \mathbb R, +,\cdot, \times \right)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et non commutative.

L'espace euclidien $\mathbb R^3$ muni du produit vectoriel $(\mathbb R^3, \mathbb R, +,\cdot, \wedge)$ est une $\mathbb R$ - algèbre non associative et non commutative.

L'ensemble des quaternions $(\mathbb H, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et non commutative.

L'ensemble des octonions $(\mathbb O, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre non associative et non commutative.

L'ensemble des biquaternions $(\mathbb B, \mathbb R, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$ - algèbre associative et non commutative.

Voir aussi

Algèbre associative sur un anneau

Algèbre de Clifford

Algèbre géométrique

Algèbre de Lie

Algèbre linéaire générale

Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice

Famille de vecteurs Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète

Sous-espace Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan

Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent

En dimension finie Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford

Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel

Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Alg%C3%A8bre sur un corps ».

Catégorie : Structure externe

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algèbre sur un anneau commutatif de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Algèbre sur un anneau — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). En mathématiques, une algèbre sur un anneau commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur l anneau commutatif , ou une … Wikipédia en Français
Algèbre sur un corps commutatif K, ou K-algèbre — ● Algèbre sur un corps commutatif K, ou K algèbre ensemble E muni d une addition et d une multiplication, toutes les deux internes, et d une multiplication externe définie de K × E dans E pour lesquelles : E a une structure d espace vectoriel sur … Encyclopédie Universelle
Algebre sur un anneau — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie … Wikipédia en Français
Algèbre Sur Un Anneau — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie … Wikipédia en Français
Anneau Commutatif — Dans la théorie des anneaux, un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. Cela signifie que pour tous les éléments a et b de l’anneau, on a a*b=b*a, en notant * cette loi de multiplication. L’étude des… … Wikipédia en Français
Algèbre associative sur un anneau — En mathématiques, une algèbre associative sur un anneau est une structure algébrique sur un anneau commutatif unitaire A telle que B soit muni d une structure de A module et d une structure d anneau telle que la loi de multiplication de l anneau… … Wikipédia en Français
Anneau commutatif — Un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Sommaire 1 Définition 2 Exemples 3 Histoire … Wikipédia en Français
Algèbre sur un corps — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K algèbre, est une structure algébrique (A , + , . , × ) telle que : (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K,… … Wikipédia en Français
Algebre sur un corps — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie … Wikipédia en Français
Algèbre Sur Un Corps — En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie … Wikipédia en Français

Mark and share
Search through all dictionaries
Translate…
Search Internet

Share the article and excerpts