Algèbre sur un anneau

Algèbre sur un anneau
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

En mathématiques, une algèbre sur un anneau commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit:

(E, \mathbb A, +,\cdot, \times) est une algèbre sur l'anneau commutatif \mathbb A, ou une \mathbb A- algèbre, si :

  1. (E, +, ·) est un module sur \mathbb A ;
  2. la loi de composition interne ×, de E x E dans E, est bilinéaire.

Définitions

Soient \mathbb A un anneau commutatif et E un module sur \mathbb A contenant l'opération binaire (c'est-à-dire \forall x, y \in E, xy\,, est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que pour tous x, y, z \in E\, (éléments du module) et pour tout a \in \mathbb A\, (scalaires), ces identités sont vraies :

  • (x + y) z = x z + y z\,;
  • x ( y + z) = x y + x z\,;
  • (a x) y = a (x y) = x (ay)\,,

alors E est une algèbre sur \mathbb A. On dit aussi que E est une \mathbb A-algèbre où \mathbb A est la base de l'algèbre E. L'opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l'algèbre E[1].

Lorsque \mathbb A est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur \mathbb A.

Un morphisme entre deux \mathbb A-algèbres E et F, \,f\,:\, E\to F est un morphisme pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires : f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b), et f(ax) = af(x) pour tous a, b\in \mathbb A et tout x\in E.

Un morphisme f est un isomorphisme si f est bijectif (son inverse est alors automatiquement un morphisme d'algèbres). Deux algèbres E et F sur \mathbb A sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de \mathbb A-algèbres f : E \to F.

Voir aussi

Notes et références

  1. ↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, édition de 1970, page 2
v · d · m
Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algèbre sur un anneau de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Algebre sur un anneau — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie …   Wikipédia en Français

  • Algèbre Sur Un Anneau — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie …   Wikipédia en Français

  • Algèbre sur un anneau commutatif — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie …   Wikipédia en Français

  • Algèbre sur un corps — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K algèbre, est une structure algébrique (A , + , . , × ) telle que : (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K,… …   Wikipédia en Français

  • Algèbre associative sur un anneau — En mathématiques, une algèbre associative sur un anneau est une structure algébrique sur un anneau commutatif unitaire A telle que B soit muni d une structure de A module et d une structure d anneau telle que la loi de multiplication de l anneau… …   Wikipédia en Français

  • Algebre sur un corps — Algèbre sur un corps En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie …   Wikipédia en Français

  • Algèbre Sur Un Corps — En mathématiques, une algèbre est une structure algébrique qui se définit comme suit: est une algèbre sur un corps , ou autrement dit une algèbre si : (E, +, ·) est un espace vectoriel sur la loi × est définie …   Wikipédia en Français

  • Algèbre sur un corps commutatif K, ou K-algèbre — ● Algèbre sur un corps commutatif K, ou K algèbre ensemble E muni d une addition et d une multiplication, toutes les deux internes, et d une multiplication externe définie de K × E dans E pour lesquelles : E a une structure d espace vectoriel sur …   Encyclopédie Universelle

  • Module sur un anneau — En mathématiques, au sein des structures algébriques, « un module est à un anneau ce qu un espace vectoriel est à un corps »[1] : pour un espace vectoriel, l ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet… …   Wikipédia en Français

  • Module Sur Un Anneau — Un module sur un anneau unitaire est une structure algébrique qui généralise celle d espace vectoriel et celle d idéal d un anneau. Dans un espace vectoriel l ensemble des scalaires forme un corps tandis que dans un module, ceux ci sont de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”