Produit tensoriel

On appelle produit tensoriel, ou produit de Kronecker, le produit de chaque composante d'un tenseur par chaque composante d'un autre tenseur. Le produit d'un tenseur d'ordre $p$ avec un tenseur d'ordre $q$ est un tenseur d'ordre $p + q$ (si le produit n'est pas contracté).

Le produit tensoriel n'est pas commutatif mais pseudo-commutatif.

Produit tensoriel

Les exemples ci-dessous emploient la convention de sommation d'Einstein.

Avec cette convention, on n'écrit pas les sommations qui deviennent très vite lourdes à traîner. On somme les indices répétés deux fois de la quantité appropriée.

Attention, les formules des produits tensoriels en termes de composantes ne sont valables que si les tenseurs sont exprimés par rapport à une base orthonormée.

Les formules des produits tensoriels en termes de composantes fonctionnent toujours sur des tenseurs d'ordre 1 formant une base car une base quelconque est toujours exprimée en fonction d'une base orthonormée.

Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 1 (vecteurs)

En termes de composantes :

$\begin{align} (\underline A \otimes \underline B)^i_{\ j} &= C^i_{\ j} \\ &= A^iB_j \end{align}$

Par exemple, pour $i \in \{1,2,3\},~j \in \{1,2,3,4\}$

$\underline A \otimes \underline B = A^i \underline\delta_i \otimes B_j \underline\delta^j = A^i B_j \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta^j) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^4 A^i B_j \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta^j)$

$= \begin{bmatrix}A^1B_1 & A^1B_2 & A^1B_3 & A^1B_4 \\ A^2B_1 & A^2B_2 & A^2B_3 & A^2B_4 \\ A^3B_1 & A^3B_2 & A^3B_3 & A^3B_4\end{bmatrix} = \underline{\underline C}$

On remarque que l'on peut exprimer ce produit tensoriel par un produit matriciel :

$\underline A \otimes \underline B = \begin{bmatrix} A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 & B_4 \end{bmatrix}$

Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 2 (matrices)

En termes tensoriel :

$\begin{align} \underline{\underline T} \otimes \underline{\underline G} &= T^{ij} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j) \otimes G_{kl} \; (\underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= T^{ij} G_{kl} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j \otimes \underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= \underline{\underline{\underline{\underline A}}} \end{align}$

En termes de composantes :

$\begin{align} (\underline{\underline T} \otimes \underline{\underline G})^{ij}_{\ \ kl} &= A^{ij}_{\ \ kl} \\ &= T^{ij}G_{kl} \end{align}$

Produit tensoriel d'un tenseur d'ordre p et d'un tenseur d'ordre q

En termes de composantes :

$\begin{align}(\mathbf{T} \otimes \mathbf{G})^{i_1 \cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \; j_1 \cdots j_q} &= A^{i_1 \cdots i_p}_{\ \ \ \ \ \; j_1 \cdots j_q} \\ &= T^{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \end{align}$

En termes tensoriel :

$\begin{align}\mathbf{T} \otimes \mathbf{G} &= T^{i_1 \cdots i_p} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p}) \otimes G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta^{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p} \otimes \underline\delta^{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= \mathbf{A} \end{align}$

Produit tensoriel contracté

Produit tensoriel contracté une fois

On définit aussi le produit tensoriel contracté une fois comme ceci.

$\begin{align} \underline{\underline T} \; \overline \otimes \; \underline{\underline G} &= T^{i j} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j) \; \overline \otimes \; G_{k l} \; (\underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= T^{i j} G_{k l} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j \; \overline \otimes \; \underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= T^{i j} G_{k l} \; (\underline \delta_i \otimes \underline \delta_j \cdot \underline \delta^k \otimes \underline \delta^l) \\ &= T^{i j} G_{k l} \delta_j^{\ k} (\underline\delta_i \otimes \underline\delta^l) \\ &=T^{i j} G_{j l} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta^l) \\ &= \underline{\underline A} \end{align}$

Le symbole $\delta_j^{\ k}$ est appelé le delta de Kronecker

En termes de composantes :

$\begin{align} ( \underline{\underline T} \; \overline\otimes \; \underline{\underline G} )^i_{\ l} &= (\underline{\underline T} \cdot \underline{\underline G} )^i_{\ l} \\ &= A^i_{\ l} \\ &= T^{i j} G_{j l} \end{align}$

On procède de la même manière pour des tenseurs d'ordre différent.

Produit tensoriel contracté deux fois

On peut aussi effectuer un produit tensoriel contracté 2, 3, 4..., n fois. Ici, un exemple pour un produit contracté 2 fois entre un tenseur d'ordre 3 et un d'ordre 2.

$\begin{align}\underline{\underline{\underline T}} \; \overline{\overline\otimes} \; \underline{\underline E} &= T^{i j k} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \otimes \underline\delta_k) \; \overline{\overline\otimes} \; E_{l m} \; (\underline\delta^l \otimes \underline\delta^m) \\ &= T^{i j k} E_{l m} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \otimes \underline\delta_k \; \overline{\overline\otimes} \; \underline\delta^l \otimes \underline\delta^m) \\ &= T^{i j k} E_{l m} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \otimes \underline\delta_k : \underline\delta^l \otimes \underline\delta^m) \\ &= T^{i j k} E_{l m} \delta_k^{\ l} \; (\underline\delta_i \otimes \underline\delta_j \cdot \underline\delta^m) \\ &= T^{i j k} E_{l m} \delta_k^{\ l} \delta_j^{\ m} \underline\delta_i \\ &= T^{i j k} E_{k m} \delta_j^{\ m} \underline\delta_i \\ &= T^{i j k} E_{k j} \underline\delta_i \\ &=\underline V \end{align}$

En termes de composantes :

$\begin{align} ( \underline{\underline{\underline T}} \; \overline{\overline\otimes} \; \underline{\underline E} )^i &= (\underline{\underline{\underline T}} : \underline{\underline E})^i \\ &= V^i \\ &= T^{i j k} E_{j k} \end{align}$

Ici le résultat est un tenseur d'ordre 1 c'est-à-dire un vecteur. L'ordre du tenseur se calcule comme suit : $O = P + Q - 2(n)$ Où O est l'ordre du nouveau tenseur, P et Q ceux du premier et deuxième tenseur alors que (n) est le nombre de fois que le produit est contracté.

On utilise aussi pour le produit contracté la notation suivante : un point entre les tenseurs, comme pour le produit scalaire classique $\underline{u} . \underline{v}$ Pour les produits contractés multiples, on note l'opération avec des points superposés (autant de point que de contraction dans le produit). Ainsi, le double-produit contracté se note $\underline{\underline{\sigma}}:\underline{\underline{\epsilon}}$ .

Produit tensoriel contracté n fois d'un tenseur d'ordre p et d'un tenseur d'ordre q

En termes de composantes :

$\begin{align}(\mathbf{T} \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; \mathbf{G})^{i_1 \cdots i_{p-n}}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \; j_{1+n} \cdots j_q} &= A^{i_1 \cdots i_{p-n}}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \; j_{1+n} \cdots j_q} \\ &= T^{i_1 \cdots i_{p-n} i_{p-n+1} \cdots i_p} G_{i_{p-n+1} \cdots i_p j_{1+n} \cdots j_q} \end{align}$

En termes tensoriel :

$\begin{align}\mathbf{T} \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; \mathbf{G} &= T^{i_1 \cdots i_p} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p}) \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta^{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_p} \; \overset{\overline{\underline\cdots}}{\otimes} \; \underline\delta^{j_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_p} G_{j_1 \cdots j_q} \delta_{i_p}^{\ \ j_1} \cdots \delta_{i_{p-n+1}}^{\ \ \ \ \ \ \ j_n} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_{p-n}} \otimes \underline\delta^{j_{1+n}} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_{p-n} i_{p-n+1} \cdots i_p} G_{i_p \cdots i_{p-n+1} j_{1+n} \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_{p-n}} \otimes \underline\delta^{j_{1+n}} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= T^{i_1 \cdots i_{p-n} i_{p-n+1} \cdots i_p} G_{i_{p-n+1} \cdots i_p j_{1+n} \cdots j_q} \; (\underline\delta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \underline\delta_{i_{p-n}} \otimes \underline\delta^{j_{1+n}} \otimes \cdots \otimes \underline\delta^{j_q}) \\ &= \mathbf{A} \end{align}$

Voir aussi

v · d · m

Opérations binaires

Numériques	En ensemble ordonné	Structurelles	Autres

Élémentaires $+$ Addition $-$ Soustraction $\times$ Multiplication $\div$ Division $\hat{}$ Puissance Arithmétiques $div$ Quotient euclidien $mod$ Reste euclidien $pgcd$ PGCD $ppcm$ PPCM Combinatoires $()$ Coefficient binomial $A$ Arrangement	Ensembles de parties $\cup$ Union $\backslash$ Complémentation $\cap$ Intersection $Δ$ Différence symétrique Ordre total $min$ Minimum $max$ Maximum Treillis $\wedge$ Borne inférieure $\vee$ Borne supérieure	Ensembles $\times$ Produit cartésien $\dot{\cup}$ Somme disjointe $\hat{}$ Puissance ensembliste Groupes $\oplus$ Somme directe $\ast$ Produit libre $\wr$ Produit en couronne Modules $\otimes$ Produit tensoriel $Hom$ Homomorphisme $Tor$ Torsion $Ext$ Extension Arbres $\vee$ Enracinement Variétés connexes $\#$ Somme connexe Espaces pointés $\vee$ Bouquet $\wedge$ Smash produit $\ast$ Joint	Fonctionnelles $\circ$ Composition de fonctions $\ast$ Produit de convolution Vectorielles $\cdot$ Produit scalaire $\wedge$ Produit vectoriel $\times\,$ Produit vectoriel généralisé Algébriques $[,]$ Crochet de Lie ${,}$ Crochet de Poisson $\wedge$ Produit extérieur Homologiques $\smile$ Cup produit $\cdot$ Produit d'intersection Séquentielles $+$ Concaténation

Logique booléenne : $\land$ ET (conjonction) • $\lor$ OU (disjonction) • $\oplus$ OU exclusif • $\Rightarrow$ IMP (implication) • $\Leftrightarrow$ EQV (équivalence)

v · d · m Les tenseurs en mathématiques et physique
Article général : Tenseur
Mathématiques	Tenseur en mathématiques · Produit tensoriel · ... de deux modules · ... de deux applications linéaires · Algèbre tensorielle · Champ tensoriel · Espace tensoriel
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Articles connexes : Modules · Algèbre extérieure

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Produit tensoriel

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Produit tensoriel

Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 1 (vecteurs)

Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 2 (matrices)

Produit tensoriel d'un tenseur d'ordre p et d'un tenseur d'ordre q