- Spineur
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En mathématiques, un spineur est un objet introduit par Elie Cartan, dont un cas particulier est le suivant : un couple (2-uplet) de nombres complexes associé à deux vecteurs de l'espace 3D.
Si X1 a pour coordonnées (a,b,c) et X2 a pour coordonnées (d,e,f), et est choisi de façon à ce que X1.X2 = 0 et X1.X1 = X2.X2, on peut construire un 3e vecteur complexe Z qui a pour coordonnées (x,y,z) avec x = a + id, y = b + ie et z = c + if.
Dans ce cas, Z.Z = 0, c'est-à-dire que le vecteur Z est orthogonal à lui-même ! Ceci est un raccourci un peu grossier dans la mesure où l'orthogonalité est une notion relative à un produit scalaire qui par définition impose que si le vecteur a une norme nulle (Z.Z = 0) alors il est le vecteur nul. Au sens strict, Z serait orthogonal à lui-même si le produit hermitien Z * .Z était nul. On vérifie facilement que ça n'est pas le cas lorsque X1 et X2 sont non nuls.
L'intérêt d'utiliser les nombres complexes est de coder la notion d'ordre entre X1 et X2, grâce à la partie réelle et à la partie imaginaire.
Ensuite, on peut montrer que Z est associable à deux autres nombres complexes, lesquels forment le spineur.
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