Algebre normee

Algebre normee

Algèbre normée

Une algèbre normée \mathbb Asur le corps K=\mathbb R ou \mathbb C est une K-algèbre muni d'une norme, c'est-à-dire d'une application x\mapsto \|x\| de \mathbb A dans \mathbb R_+ vérifiant

  • \forall x\in\mathbb A\quad \forall y\in\mathbb A\qquad \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|
  • \forall x\in\mathbb A\quad \forall y\in\mathbb A\qquad \|x*y\|\le\|x\|*\|y\|
  • \forall \lambda\in K\quad \forall x\in\mathbb A\qquad \|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|
  • \forall x\in \mathbb A\qquad (\|x\|=0\quad\Rightarrow\quad x=0)

En d'autres termes, il s'agit d'une K-algèbre telle que l'espace vectoriel sous-jacent soit normé, la norme étant en outre sous-multiplicative.

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