Homologie Des Groupes

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Homologie des groupes

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En algèbre homologique, l'homologie d'un groupe G est un invariant attaché à un groupe G.

Pour un groupe G, on note \mathbf{Z}[G], l'anneau dont le groupe abélien sous-jacent est le groupe abélien libre engendré par G et dont les produits sont donnés sur les éléments de base par les produits de G.

Plus précisément, un élément de \mathbf{Z}[G] est un objet de la forme :

\sum_{g\in G} n_g g

où les ng sont presque tous nuls. Et le produit de deux tels éléments sont donnés par :


\left(\sum_{g\in G} n_g g\right)\left( \sum_{g\in G} n'_g g\right)=\sum_{g\in G}\left(\sum_{g_1,g_2\in G/g_1g_2=g} n_{g_1}n'_{g_2}\right) g


Soit G un groupe, M un \mathbf{Z}[G]-module, c'est à dire un groupe abélien muni d'un homomorphisme de G dans le groupe des automorphismes de M. et \epsilon:F_*\rightarrow M\rightarrow 0 une résolution projective de M sur \mathbf{Z}[G].

Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par :

 H_i(G;M)=H_i(F_*\otimes_{\mathbf{Z}[G]}\mathbf{Z})


De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par :

 H^i(G;M)=H^i(\mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}[G]}(F_*,\mathbf{Z}))

Un résultat standard d'algèbre homologique montre que ces constructions sont indépendantes de la résolution F * choisie.

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