Symbole de Levi-Civita

Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :

Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions.(i d'avant en arrière, j de haut en bas et k de gauche à droite)

$\varepsilon_{ijk} =\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2}& \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2}& \delta_{j3} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2}& \delta_{k3} \end{vmatrix}$

Ainsi $ε i j k$ ne peut prendre que trois valeurs : -1, 0 ou 1.

En 3 dimensions on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ ou } (3,1,2), \\ -1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ ou } (2,1,3), \\ 0 & \mbox{autrement: }i=j \mbox{ ou } j=k \mbox{ ou } k=i, \end{cases}$

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker:

ε i j k ε l m n = δ i l δ j m δ k n + δ i m δ j n δ k l + δ i n δ j l δ k m - δ i l δ j n δ k m - δ i n δ j m δ k l - δ i m δ j l δ k n

$\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$

$\sum_{i,j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$

On peut démontrer que:

$\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!$

est vrai en n dimensions.

Interprétation

Dans une base orthonormée directe $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3},$ ,
$ε i j k$ représente le volume orienté du parallépipède construit à partir des vecteurs $\vec{e_i}, \vec{e_j}, \vec{e_k},$ .

D'où une valeur égale à 0 si i=j, ou j=k, ou i=k.

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