Puissance exterieure

Puissance exterieure

Puissance extérieure

La puissance extérieure p-ième d'un module E (sur un anneau commutatif) est une construction en algèbre extérieure qui est une solution au problème suivant : existe-t-il un module M, le « plus petit » possible et une application canonique φ : Ep → M telle que pour toute application multilinéaire alternée f définie sur Ep à valeur dans un module F quelconque, il existe une unique application g définie sur M à valeurs dans F telle que f = g \circ \varphi ?

Construction du produit extérieur

On considère le produit tensoriel :

\begin{matrix} N = \bigotimes^p E & = & \underbrace{E \otimes_A \cdots \otimes_A E} \\ & & p \end{matrix}

On sait que toute application multilinéaire f : E^p \to F est en correspondance avec une application linéaire h : N \to F telle que :

\forall (x_1, \dots, x_p) \in E^p, f(x_1, \dots, x_p) = h(x_1 \otimes \cdots \otimes x_p)

Comme f est alternée, l'application h s'annule en tous les tenseurs décomposables x_1 \otimes \cdots \otimes x_p tels qu'il existe i,j deux indices différents vérifiant xi = xj. Considérons le sous-module C de N engendré par les tenseurs de cette forme. Comme C est incluse dans le noyau de h, il existe une unique application multilinéaire g du module quotient N/C telle que :

\forall (x_1, \dots, x_p) \in E^p, g(\overline{x_1 \otimes \cdots \otimes x_p}) = h(x_1 \otimes \cdots \otimes x_p) = f(x_1, \dots,x_p)

On appelle donc puissance extérieur le quotient N/C et on le note \bigwedge^p E. Si (x_1, \dots, x_p) \in E^p, la classe de l'élément x_1 \otimes \cdots \otimes x_p se note x_1 \wedge \cdots \wedge x_p (au lieu de \overline{x_1 \otimes \cdots \otimes x_p} comme écrit précédemment).

Rang, dimension d'un produit extérieur

Lorsque E est un module libre de type fini sur un anneau commutatif A, il possède une base finie (e_1, \dots e_n) et la famille suivante :

F = \{e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_p}, 1 \leq i_1 < \cdots < i_p \leq n\}

est une base du produit extérieur \bigwedge^p E.

En particulier, on déduit le résultat surprenant suivant : deux bases finies (ei) et (fj) d'un module sur un anneau commutatif ont même cardinal. En effet, soit n le cardinal de l'une, et m le cardinal de l'autre. Supposons n < m. Le produit extérieur \bigwedge^n E est vide, car en utilisant la propriété précédente, on déduit que la famille vide est une base de \bigwedge^n E, par ailleurs, la famille \{f_{j_1} \wedge \cdots \wedge f_{j_n}, 1 \leq j_1 < \cdots < j_n \leq m\} qui est non vide est également une base. D'où la contradiction, donc n \geq m, par symétrie on déduit m \geq n, d'où n = m.

Algèbre commutative
Algèbre • Anneau commutatif • Anneau euclidien • Anneau factoriel • Anneau noethérien • Anneau principal • Annulateur • Bimodule • Corps des fractions • Dual d'un module • Facteur direct • Idéal • Longueur d'un module • Module • Module simple • Module fidèle • Module libre • Module monogène • Module quotient • Module semi-simple • Produit tensoriel • Puissance extérieure
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