Matrice compagnon
- Matrice compagnon
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En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire
est la matrice carrée suivante[1],[2],[3] :
mais il existe d'autres conventions :
Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p (ou ( − 1)np selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.
Si le polynôme p possède n racines distinctes λ1, ..., λn (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :
où V est la matrice de Vandermonde associée à λ1, ..., λn.
Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
- A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans K
- le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
- il existe un vecteur v dans Kn tel que (v, Av, A2v,...,An-1v) soit une base de Kn.
Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que le polynôme caractéristique de chacune divise celui de la suivante ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.
Notes et références
- ↑ Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions] , Vol. 1, p. 365
- ↑ Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail des éditions], § 11.102
- ↑ Daniel Guinin, Bernard Joppin, Algèbre et géométrie MP, Éditions Bréal, 2004, ISBN 9782749503882, p. 186
- ↑ David C. Lay, Algèbre linéaire : Théorie, exercices & applications, De Boeck, 2004, ISBN 9782804144081, p. 372
- ↑ Dany-Jack Mercier, Exercices pour le CAPES mathématiques (externe et interne) & l'agrégation interne, Volume 1, Publibook, 2005, ISBN 9782748309959, p. 103
- ↑ Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Méthodes numériques : algorithmes, analyse et applications, Springer, 2007, ISBN 9788847004955, p. 207
- ↑ Jacques Rappaz, Marco Picasso, Introduction à l'analyse numérique, PPUR, 1998, ISBN 9782880743635, p. 106
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2010.
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