- Loi géométrique
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Géometrique Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres probabilité de succès (réel), q = 1 − p probabilité d'échec Support Densité de probabilité (fonction de masse) Fonction de répartition Espérance Médiane (centre) (pas unique si − log(2) / log(q) est entier) Mode 1 Variance Asymétrie Kurtosis normalisé Entropie Fonction génératrice des moments Fonction caractéristique modifier La loi géométrique est une loi de probabilité apparaissant dans de nombreuses applications. La loi géométrique de paramètre p (0 < p < 1) correspond au modèle suivant :
On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p et celle d'échec q = 1 - p.
On renouvelle cette épreuve de manière indépendante jusqu'au premier succès. On appelle X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès.
Les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ... La probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ...
- p(k) = qk − 1p.
On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.
Sommaire
Calcul de p(k)
La probabilité p(k) correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k − 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de qk − 1p.
Définition alternative
On rencontre parfois pour la loi géométrique, la définition alternative suivante : la probabilité p'(k) est la probabilité, lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir k échecs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout instant la probabilité p de mourir. On obtient alors, pour k = 0, 1, 2, ...
- p'(k) = qkp.
On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique. Son espérance n'est plus alors de mais de , c'est-à-dire . La variance est identique pour les deux définitions. Dans la suite, on prendra la première définition.
Date de mort, durée de vie
Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :
- P(V = k) = qkp pour k = 0, 1, ....
Pour p petit, ln(1 - p) est voisin de -p donc
où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.
Espérance, variance, écart type
L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p est
La variance est ,
L'écart type est donc
DémonstrationCalculs préliminaires, pour tout x de [0 ; 1[,
En particulier
On peut alors utiliser ces identités pour le calcul de l'espérance :
car 1 − q = p, et pour celui de la variance :
Liens avec d'autres lois
Lien avec la loi exponentielle
La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.
Propriété — Si suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si alors suit la loi géométrique de paramètre
DémonstrationNotons que, pour un nombre réel désigne la partie entière supérieure de définie par
Conséquence :Ainsi, pour obtenir une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre arbitraire (avec toutefois la contrainte ), à partir d'une variable aléatoire exponentielle de paramètre il suffit de poser
où l'on a choisi
En effet, suit une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).
Réciproquement,
Propriété — Si, pour la variable aléatoire suit la loi géométrique de paramètre , et si, simultanément,
alors converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre
DémonstrationOn se donne une variable aléatoire exponentielle de paramètre 1, et on pose
Alors et ont même loi, en vertu de la propriété précédente. Par ailleurs, pour tout
Or d'une part la convergence presque sûre entraine la convergence en loi, d'autre part la loi de est la loi exponentielle de paramètre
Lien avec la loi binomiale négative
Si Xn est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres n et p, alors Xn a même loi que la somme de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre p.
Voir aussi
- Variables aléatoires élémentaires
- Radioactivité
- Méthode de rejet
- Processus de Bernoulli
- Loi exponentielle
- Loi binomiale négative
- Portail des probabilités et des statistiques
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