Distribution Gamma

Loi Gamma
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition >

Paramètres	$k > 0\,$ réel $\theta > 0\,$ réel
Support	$x \in [0,+ \infty[$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$x^{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\theta^k}$
Fonction de répartition	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$
Espérance	$k \theta\,$
Médiane (centre)	pas d'expression formelle
Mode	$(k-1) \theta\,$ pour $k \geq 1\,$
Variance	$k \theta^2\,$
Asymétrie	$\frac{2}{\sqrt{k}}$
Kurtosis normalisé	$\frac{6}{k}$
Entropie	$k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,$ $+(1-k)\psi(k)\,$
Fonction génératrice des moments	$(1 - \theta\,t)^{-k}$ pour $t < 1 / θ$
Fonction caractéristique	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}$
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En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma, ou loi Gamma (ou $Γ$ , qui correspond au g (gamma) majuscule en grec), est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions Gamma inclut entre autres les lois exponentielles, les lois de sommes de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponentielle, ainsi que la loi du χ². Elle permet donc de modéliser une grande variété de phénomènes pour des grandeurs positives.

Une variable aléatoire X suit une loi Gamma de paramètres $k$ et $θ$ (strictement positifs), ce que l'on note aussi $X \, \sim \Gamma(k, \theta)$ , si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :

$f(x;k,\theta) = \frac{{x^{k - 1} e^{ - \frac{x}{\theta }} }}{{\Gamma \left( k \right) \theta ^k }}$

Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme $α = k$ et d'un paramètre d'intensité $β = 1 / θ$ :

$f(x;\alpha,\beta) = x^{\alpha-1} \frac{\beta^{\alpha} \, e^{-\beta\,x} }{\Gamma(\alpha)} \ \mathrm{pour}\ x > 0 \,\!.$

Les deux paramétrages sont aussi répandus, selon la configuration.

Sommaire

1 Propriétés
- 1.1 Somme
- 1.2 Scaling
2 Lien avec les autres distributions
- 2.1 Contraintes sur les paramètres
- 2.2 Autres manipulations
3 Voir aussi

Propriétés

Somme

Si chaque X_i suit la loi Γ(k_i, θ) pour i = 1, 2, ..., N, et si les variables aléatoires X_i sont indépendantes, alors :

$\sum_{i=1}^N X_i \sim \Gamma \left( \sum_{i=1}^N k_i, \theta \right) \,\!$

Scaling

Pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon Γ(k, tθ), où θ est le paramètre d'échelle.

Pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon Γ(α, (1/t)β) où β est le paramètre d'intensité (rate parameter).

Lien avec les autres distributions

Contraintes sur les paramètres

Si $X \sim {\Gamma}(k=1, \theta=1/\lambda)\,$ , alors X a une distribution exponentielle de paramètre λ.
Si $X \sim {\Gamma}(k=\nu/2, \theta=2)\,$ , alors X est identique à une variable χ²(ν), la distribution de la loi du χ² avec ν degré de liberté.
Si $k$ est un entier, la loi Gamma est une distribution d'Erlang;
Si $X^2 \sim {\Gamma}(3/2, 2a^2)\,$ , alors X a une distribution de Maxwell-Boltzmann avec comme paramètre a.

Autres manipulations

Si X a une distribution Γ(k, θ), alors 1/X a une distribution loi Gamma inverse, de paramètres k et $θ - 1$ .
Si X et Y sont distribuées indépendamment selon des lois Γ(α, θ) et Γ(β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) a une distribution beta de paramètres α et β.
SiX_i sont distribuées selon des lois Γ(α_i,θ) respectivement, alors le vecteur (X₁ / S, ..., X_n / S), où S = X₁ + ... + X_n, suit une distribution de Dirichlet de paramètres α₁, ..., α_n.
Pour k grand, la distribution Gamma converge vers une loi normale, de moyenne $μ = (k - 1)θ$ et de variance $σ 2 = (k - 1)θ 2$ .

Voir aussi

Fonction Gamma d'Euler

v · Lois de probabilités

Lois discrètes

à support fini	Loi de Bernoulli • Loi uniforme discrète • Loi binomiale • Loi hypergéométrique • Loi de Benford
à support dénombrable	Loi géométrique • Loi de Poisson • Loi binomiale négative • Loi logarithmique

Lois continues

à support compact	Loi uniforme continue • Loi triangulaire • Loi bêta
à support semi-infini	Loi exponentielle • Loi Gamma • Loi du χ² • Loi de Fisher • Loi de Weibull • Loi de Rayleigh • Loi de Rice • Loi d'Erlang • Loi de Lévy • Loi inverse-gamma • Loi log-normale
à support infini	Loi normale • Loi normale asymétrique • Loi de Cauchy • Loi de Laplace • Loi logistique • Loi de Student • Loi stable • Loi de Gumbel

Portail des probabilités et des statistiques

Catégorie :

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