Fonction Caractéristique D'une Variable Aléatoire

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire

La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur $\scriptstyle\ \R\$ par

$\begin{align} \varphi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[e^{itX}\right] \\ &=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right]. \end{align}$

Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur $\scriptstyle\ 2\pi \,$ près suivant la convention) de la densité. Il arrive que l'on prenne $\scriptstyle\ \phi_X(t) = E[e^{2i\pi tX}].$

Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans $\scriptstyle\ \R^d\$ est la fonction à valeurs complexes définie sur $\scriptstyle\ \R^d\$ par

$\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[e^{i \langle u , X \rangle}\right]\,$

où $\scriptstyle\ \langle u , X \rangle\,$ est le produit scalaire de u avec X.

Lorsque la variable aléatoire X est discrète, on définit sa fonction génératrice par

$G(z)=\mathbb{E}\left[z^X\right]$

avec z complexe (quand cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc

$\phi_{X}(t)=G\left(e^{it}\right);$

cette fonction G est donc en fait un prolongement de $\scriptstyle\ \phi_{X}.$

Propriétés de la fonction caractéristique

Elle détermine de façon unique la loi d'une variable aléatoire au sens où $\phi_X=\phi_Y\,$ (égalité de fonctions) équivaut à " $X\,$ et $Y\,$ ont la même loi."

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, $\phi_{X+Y}=\phi_{X}\,\phi_{Y}$ . Plus généralement, si $X_1, \ldots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes dans leur ensemble, alors $\phi_{X_1+\cdots+X_n}=\phi_{X_1}\cdots\phi_{X_n}$ .

En appliquant alors la transformée de Fourier à

φ X + Y

cela permet de retrouver la loi de X+Y.

Il y a aussi une relation entre les moments et la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Lorsque les moments existent et que la série converge :

$\phi_X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^k \mu_k}{k!}t^k$ où

μ k

est le moment d'ordre k.

Cette relation sert parfois pour calculer la moyenne (premier moment) et la variance d'une variable aléatoire. Plus explicitement

$1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phi^{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[X^2\right]=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)$

$\textrm{Var}(X)=-\,\phi^{\prime\prime}_X(0)+\phi^{\prime 2}_X(0)$ .

La relation suivante sert, par exemple, à calculer la fonction caractéristique d'une variable centrée réduite, à partir de la fonction caractéristique de la variable de départ :

$\phi_{aX+b}(t)=\phi_X(at)\,e^{itb}$ .

Voir aussi

Fonction génératrice des moments

Portail des probabilités et des statistiques

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Catégorie : Probabilités

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