Loi Géométrique

Loi géométrique

**Geometrique**
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$0< p \leq 1$ probabilité de succès (réel), $q = 1 - p$ probabilité d'échec
Support	$k \in \{1,2,3,\dots\}\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$q^{k-1}\,p\!$
Fonction de répartition	$1-q^k\!$
Espérance	$\frac{1}{p}\!$
Médiane (centre)	$\left\lceil \frac{-\log(2)}{\log(q)} \right\rceil\!$ (pas unique si $- log(2) / log(q)$ est entier)
Mode	1
Variance	$\frac{q}{p^2}\!$
Asymétrie (statistique)	$\frac{2-p}{\sqrt{q}}\!$
Kurtosis (non-normalisé)	$6+\frac{p^2}{q}\!$
Entropie	$\frac{-q\log_2 q - p \log_2 p}{p}\!$
Fonction génératrice des moments	$\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!$
Fonction caractéristique	$\frac{pe^{it}}{1-q\,e^{it}}\!$

La loi géométrique est une loi de probabilité apparaissant dans de nombreuses applications. La loi géométrique de paramètre p (0 < p < 1) correspond au modèle suivant :

On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p et celle d'échec q = 1 - p.

On renouvelle cette épreuve de manière indépendante jusqu'au premier succès. On appelle X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès.

Les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ... La probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ...

p (k) = q k - 1 p .

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.

Sommaire

1 Calcul de p(k)
2 Définition alternative
3 Date de mort, durée de vie
4 Espérance, variance, écart type
5 Liens avec d'autres lois
- 5.1 Lien avec la loi exponentielle
- 5.2 Lien avec la loi binomiale négative
6 Voir aussi

Calcul de p(k)

La probabilité p(k) correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k - 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de q^{k - 1}p.

Définition alternative

On rencontre parfois pour la loi géométrique, la définition alternative suivante : la probabilité p'(k) est la probabilité, lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir k échecs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout instant la probabilité p de mourir. On obtient alors, pour k = 0, 1, 2, ...

p'(k) = q k p .

On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique. Son espérance n'est plus alors de $\scriptstyle \frac 1p$ mais de $\scriptstyle \frac 1p - 1$ , c'est à dire $\scriptstyle \frac qp$ . La variance est identique pour les deux définitions. Dans la suite, on prendra la première définition.

Date de mort, durée de vie

Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :

P (V = k) = q k p

pour k = 0, 1, ....

$P(V \geq k) =q^k = \mathrm{e}^{k\ln(q)}$

Pour p petit, ln(1 - p) est voisin de -p donc

$P(V \geq k) \approx \mathrm{e}^{-pk}$

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.

Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p est $\frac{1}{p}$

La variance est $\frac{q}{p^2}$ ,

L'écart type est donc $\frac{\sqrt{q}}{p}$

Démonstration

Calculs préliminaires, pour tout x de [0 ; 1[,

$\begin{align} f(x)&= \sum_{k=1}^{+\infty} x^{k-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^{k} = \frac{1}{1-x}\\ f^{\prime}(x)&= \sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)x^{k} = \frac{1}{(1-x)^2}\\ f^{\prime\prime}(x)&= \sum_{k=1}^{+\infty} k(k+1)x^{k-1}= \sum_{k=1}^{+\infty}k^2x^{k-1} + \sum_{k=1}^{+\infty} kx^{k-1}= \frac{2}{(1-x)^3} \end{align}$

En particulier

$\sum_{k=1}^{+\infty}k^2x^{k-1} = \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{1}{(1-x)^2}$

On peut alors utiliser ces identités pour le calcul de l'espérance :

$\begin{align}\mathbb{E}[X] &= \sum_{k=1}^{+\infty} kq^{k-1} p\\ &= \frac{p}{(1-q)^2}\\&= \frac 1p,\end{align}$

car $1 - q = p,$ et pour celui de la variance :

$\begin{align} V(X)&= \left(\sum_{k=1}^{+\infty} k^2q^{k-1} p\right) - \mathbb{E}[X]^2\\&= \frac{2p}{(1-q)^3}- \frac{p}{(1-q)^2} - \frac{1}{p^2}\\&= \frac{2}{p^2} - \frac 1p-\frac{1}{p^2}\\&= \frac{q}{p^2}.\end{align}$

Liens avec d'autres lois

Lien avec la loi exponentielle

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si $\scriptstyle\ X\$ suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si $\scriptstyle\ Y=\lceil\theta X\rceil,\ \theta>0,\$ alors $\scriptstyle\ Y\$ suit la loi géométrique de paramètre

$p\ =\ 1-e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}.$

Démonstration

$\begin{align} \mathbb{P}(Y=k) &= \mathbb{P}(\lceil\theta X\rceil=k) \\ &= \mathbb{P}(\theta X\in]k-1,k]) \\ &= \mathbb{P}\left(X\in\left]\tfrac{k-1}{\theta},\tfrac{k}{\theta}\right]\right) \\ &= F_X\left(\tfrac{k}{\theta}\right)-F_X\left(\tfrac{k-1}{\theta}\right) \\ &= \exp\left(-\ \tfrac{k-1}{\theta}\right)-\exp\left(-\ \tfrac{k}{\theta}\right) \\ &= \left(e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}\right)^{k-1}\ \left(1-e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}\right). \end{align}$

Diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10.

Notons que, pour un nombre réel $\scriptstyle\ x,\$ $\scriptstyle\ \lceil x\rceil\$ désigne la partie entière supérieure de $\scriptstyle\ x,\$ définie par

$\lceil x\rceil\ =\ \min\left\{k\in\mathbb{Z}\ |\ k\ge x\right\}.$

En choisissant

$\theta\ =\ -\tfrac{\lambda}{\ln\left(1-p\right)},$

on fabrique ainsi, à partir d'une variable aléatoire exponentielle $\scriptstyle\ X^{\prime}\$ de paramètre $\scriptstyle\ \lambda,\$ une variable aléatoire

$Y^{\prime}=\lceil\theta X^{\prime}\rceil,$

suivant une loi géométrique de paramètre $\scriptstyle\ p\$ arbitraire (avec toutefois la contrainte $\scriptstyle\ 0<p<1\$ ), car $\scriptstyle\ X=\lambda\,X^{\prime}\$ suit alors une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour $\scriptstyle\ n\ge 1,\$ la variable aléatoire $\scriptstyle\ Y_n\$ suit la loi géométrique de paramètre $\scriptstyle\ p_n\$ , et si

$\lim_n p_n\ =\ 0,\qquad\lim_n p_n/a_n\ =\ \lambda>0,$

alors $\scriptstyle\ a_nY_n\$ converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre $\scriptstyle\ \lambda.\$

Démonstration

On se donne une variable aléatoire exponentielle $\scriptstyle\ X\$ de paramètre 1, et on pose

$\begin{align} \theta_n &= -\tfrac{1}{\ln\left(1-p_n\right)}, \\ Y^{\prime}_n &= \lceil\theta_n X\rceil. \end{align}$

Alors $\scriptstyle\ Y_n\$ et $\scriptstyle\ Y^{\prime}_n\$ ont même loi, en vertu de la propriété précédente. Par ailleurs, pour tout $\scriptstyle\ \omega,\$

$\lim_n a_nY^{\prime}_n(\omega)\ =\ \lim_n a_n\lceil\theta_n X(\omega)\rceil=\ \left(\lim_n a_n\theta_n\right)\ X(\omega)\ =\ X(\omega)/\lambda.$

Or d'une part la convergence presque sûre entraine la convergence en loi, d'autre part la loi de $\scriptstyle\ X/\lambda\$ est la loi exponentielle de paramètre $\scriptstyle\ \lambda.\$

Lien avec la loi binomiale négative

Si X_n est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres n et p, alors X_n a même loi que la somme de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre p.

Voir aussi

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