Loi de probabilite

Loi de probabilité

Une loi de probabilité ou distribution de probabilité a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d'apparition des résultats d'un phénomène aléatoire. Dans le dernier quart du XX^e siècle, on a largement étendu le concept à des domaines où il n'était plus question de fréquences, mais de représentation d'états de connaissance.

Les lois de probabilité sont utilisées en probabilité, et par extension en statistiques, qui sont des branches des mathématiques.

On associe naturellement une loi de probabilité à une variable aléatoire pour décrire la répartition des valeurs qu'elle peut prendre.

Parmi l'ensemble des lois de probabilités possibles, on distingue un certain nombre de familles usuelles qui correspondent à des phénomènes aléatoires simples : lancer de dés, jeu de pile ou face, erreurs de mesures, etc. Combinées entre elles, elles permettent d'élaborer des modélisations de phénomènes aléatoires plus complexes.

Sommaire

1 Définition informelle
2 Exemples de lois discrètes
3 Exemples de lois à densité
4 Définition mathématique
5 Caractérisation de la loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle
6 Classification des lois de probabilités sur la droite réelle
7 Histoire
8 Maximum d'entropie
9 Exemples de distribution
10 Voir aussi
- 10.1 Liens connexes

Définition informelle

Une loi de probabilité se caractérise de différentes manières. Le plus souvent, on utilise la fonction de répartition pour caractériser une loi. Cela présente l'avantage d'être valable aussi bien pour les lois discrètes que continues. Mais on peut aussi caractériser une loi mixte avec une fonction de répartition. Dans le cas d'une loi continue, on utilise très souvent la densité, alors que dans le cas discret, la donnée des probabilités élémentaires suffit à caractériser la loi en question.

Exemples de lois discrètes

La variable aléatoire X est discrète (l'ensemble de ses valeurs possibles est fini ou dénombrable), on définit alors la probabilité pour chaque valeur n, soit

$\ P(X = n)$

Loi de Bernoulli

Article détaillé : Loi de Bernoulli.

La loi de Bernoulli correspond à un lancer de pile ou face :

$\ P(X = 1) = p$ où p = succès
$\ P(X = 0) = q$ où q = (1-p) = échec
$\ E(X) = p$
$\ V(X) = p(1-p) = pq$

Loi binomiale

Article détaillé : Loi binomiale.

n épreuves de Bernoulli identiques.
$P(X = k)={n\choose k} p^k(1-p)^{n-k}$ pour tout k de 0 à n, p étant un réel compris entre 0 et 1
$\ E(X) = np$
$\ V(X) = np(1- p) = npq$ où $q = 1 - p$

Loi hypergéométrique

Article détaillé : Loi hypergéométrique.

$P(X = k) = \frac{{pA\choose k}{(1-p)A\choose n-k}}{{A\choose n}}$ où A est un entier, pA et n des entiers inférieurs à A
$\ E(X)=np$
$V(X) = np(1-p)\frac{A-n}{A - 1}$

Loi de Poisson

Article détaillé : Loi de Poisson.

$P(X = k) = \frac{\lambda ^ k}{k!} \exp (-\lambda)\qquad k \in \mathbb{N},\ \lambda \in \mathbb{R}_+^*$
$\ E(X) = \lambda$
$\ V(X) = \lambda$

Loi géométrique

Article détaillé : Loi géométrique.

$\ P(X = n)=(1-p)^{n-1}p$ où p est un réel compris entre 0 et 1 et n un entier non nul.
$\ E(X) = \frac{1}{p}$
$\ V(X) = \frac{1-p}{p^2}$

Exemples de lois à densité

Article détaillé : Densité de probabilité.

Une variable aléatoire réelle $\scriptstyle\ X\$ possède une densité de probabilité $\scriptstyle\ f_X\$ , si pour tous nombres réels $\scriptstyle\ a<b\$ on a

$\mathbb{P}(a < X < b) = \int_a^b f_X(x)\, dx.$

On dit aussi alors que la loi $\scriptstyle\ \mathbb{P}_X\$ de $\scriptstyle\ X\$ possède une densité, ou bien est à densité. D'une manière équivalente, on dit que $\scriptstyle\ \mathbb{P}_X\$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.

En conséquence, $\scriptstyle\ \mathbb{P}(X=a) = 0,$ pour tout nombre réel $\scriptstyle\ a,$ et la fonction de répartition $\scriptstyle\ F_X\$ de $\scriptstyle\ X\$ est continue. On a plus précisément

$F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u)\, du.$

Les variables aléatoires à densité sont parfois appelées variables continues.

Loi uniforme

Article détaillé : Loi uniforme continue.

Loi uniforme continue sur un intervalle borné [a; b] :

$f_X (x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a}\ \mathrm{si}\ x \in [a;b] \\ 0\ \mathrm{sinon} \end{matrix}\right.$
$E(X) = \frac{a+b}{2}$
$V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

Loi normale

Article détaillé : Loi normale.

$f_X (x) = \left ( 2 \pi \sigma_X^2 \right )^{-1/2} \cdot \exp \left ( - \frac{(x-m_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right )$

$f_X (x) = \frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}} \cdot e^{ \left ( - \frac{(x-m_X)^2}{2 \sigma_X^2} \right )}$

$\ E(X) = m_X$
$\ V(X) = \sigma_X^2$

Loi exponentielle

Article détaillé : Loi exponentielle.

$f_X (x) = \left\{\begin{matrix} \lambda.\exp(-\lambda x)\ \mathrm{si}\ x \geq 0 \\ 0\ \mathrm{sinon} \end{matrix}\right.$
$E(X) = \frac{1}{\lambda}$
$V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

Loi logistique

Article détaillé : Loi logistique.

$f_X (x) = \frac{e^{-\frac{x-\mu}{s}}}{s\left(1+e^{-\frac{x-\mu}{s}}\right)^2}$
$E(X) = \mu\,$
$V(X) = \frac{s^2\pi^2}{3}$

Loi de Cauchy

Article détaillé : Loi de Cauchy.

$f_X(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}\,$

La loi de Cauchy n'admet aucun moment (donc ni moyenne ni variance, entre autres).

Loi de Tukey-Lambda

La Loi de Tukey-Lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles :

$G(p) = {p^\lambda - (1-p)^\lambda\over \lambda}$

elle a par la suite été généralisée.

Définition mathématique

En théorie des probabilités, une loi (ou mesure) de probabilité est une mesure positive $\scriptstyle\ \mathbb{P}\$ sur un espace mesurable $\scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A})\$ , telle que $\scriptstyle\ \mathbb{P}(\Omega) = 1$ . Le triplet $\scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A},\, \mathbb{P})\$ est appelé espace probabilisé.

Définition — Soit une variable aléatoire réelle sur l'espace probabilisé $\scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A},\, \mathbb{P})$ , c'est-à-dire une fonction mesurable $\scriptstyle\ X : \Omega \to \mathbb{R}$ (l'ensemble $\scriptstyle\ \mathbb{R}$ étant muni de sa tribu borélienne $\scriptstyle\ \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ ). On appelle loi (de probabilité) de la variable aléatoire $\scriptstyle\ X\$ la mesure de probabilité $\ \scriptstyle\mathbb{P}_X\$ définie sur l'espace mesurable $\ \scriptstyle(\mathbb{R},\, \mathcal{B}_{\mathbb{R}})$ par :

$\mathbb{P}_X(B) = \mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right) = \mathbb{P}\left(X\in B\right).$

pour tout borélien $\ \scriptstyle B\$ de $\ \scriptstyle\mathbb{R}$ . On dit parfois que $\ \scriptstyle\mathbb{P}_X\$ est la mesure image de $\scriptstyle\ \mathbb{P}\$ par $\scriptstyle\ X\$ .

Bien évidemment, deux variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ X\$ et $\scriptstyle\ Y\$ ont même loi si $\ \scriptstyle\mathbb{P}_X\ =\ \scriptstyle\mathbb{P}_Y\$ (égalité de fonctions). Cela se réécrit

$\forall B\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\qquad\mathbb{P}_X(B)\ = \mathbb{P}_Y(B),$

ou bien encore

$\forall B\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\qquad\mathbb{P}(X\in B)\ = \mathbb{P}(Y\in B).$

Plus généralement, deux variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ X\$ et $\scriptstyle\ Y\$ ont même loi si

$\mathbb{E}\left[\phi(X)\right]\ = \mathbb{E}\left[\phi(Y)\right]$

pour toute fonction $\scriptstyle\ \phi\$ de $\scriptstyle\ \mathbb{R}\$ dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}\$ telle qu'au moins un des deux termes de l'égalité ait un sens.

Caractérisation de la loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle

En probabilité, il est crucial de pouvoir vérifier que deux variables aléatoires (réelles ou pas) ont la même loi de manière la plus économique possible, or les caractérisations ci-dessus exigent de vérifier des familles d'identités beaucoup trop riches (pour tout borélien B, pour toute fonction borélienne φ ...). Une solution plus ergonomique est fournie par les notions de fonction de répartition, ou de fonction caractéristique.

Caractérisation à l'aide de la fonction de répartition

La loi d'une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction de répartition : deux variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ X\$ et $\scriptstyle\ Y\$ ont même loi si elles ont même fonctions de répartition, i.e. si

$\forall x\in\mathbb{R},\qquad\mathbb{P}(X\le x)\ = \mathbb{P}(Y\le x).$

Ainsi il suffit de vérifier l'égalité caractéristique pour une famille réduite de boréliens $\scriptstyle\ B\$ très particuliers, les boréliens de la forme $\scriptstyle\ ]-\infty,x],\$ pour démontrer les égalités $\scriptstyle\ \mathbb{P}(X\in B)\ =\ \mathbb{P}(Y\in B)$ et $\scriptstyle\ \mathbb{E}\left[\phi(X)\right]\ =\ \mathbb{E}\left[\phi(Y)\right]$ en toute généralité. Ce résultat crucial est une conséquence du Lemme de classe monotone dû à Wacław Sierpiński.

Caractérisation à l'aide de la fonction caractéristique

La loi d'une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction caractéristique : deux variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ X\$ et $\scriptstyle\ Y\$ ont même loi si elles ont même fonction caractéristique, i.e. si

$\forall t\in\mathbb{R},\qquad\mathbb{E}\left[e^{itX}\right]\ = \mathbb{E}\left[e^{itY}\right].$

Ainsi il suffit de vérifier l'égalité caractéristique pour une famille réduite de fonctions $\scriptstyle\ \phi\$ très particulières, les fonctions de la forme $\scriptstyle\ x\rightarrow\cos(tx)\$ et $\scriptstyle\ x\rightarrow\sin(tx),\$ pour démontrer que $\scriptstyle\ X\$ et $\scriptstyle\ Y\$ ont même loi.

Caractérisation à l'aide de la transformée de Laplace

La loi d'une variable aléatoire réelle positive ou nulle est caractérisée par sa transformée de Laplace : deux variables aléatoires réelles positives ou nulles $\scriptstyle\ X\$ et $\scriptstyle\ Y\$ ont même loi si elles ont même transformée de Laplace, i.e. si

$\forall \lambda>0,\qquad\mathbb{E}\left[e^{-\lambda X}\right]\ = \mathbb{E}\left[e^{-\lambda Y}\right].$

Caractérisation à l'aide de la fonction génératrice

La loi d'une variable aléatoire à valeurs entières positives ou nulles est caractérisée par sa fonction génératrice : deux variables aléatoires à valeurs entières positives ou nulles $\scriptstyle\ X\$ et $\scriptstyle\ Y\$ ont même loi si elles ont même fonction génératrice, i.e. si

$\forall s\in\mathbb{R},\qquad\mathbb{E}\left[s^{X}\right]\ = \mathbb{E}\left[s^{Y}\right].$

Classification des lois de probabilités sur la droite réelle

Les lois énumérées dans cet article sont des mesures de probabilités sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}$ . Ces lois apparaissent en général dans les applications comme les lois de probabilité de certaines variables aléatoires réelles. Les lois énumérées dans cet article sont de deux types :

lorsque la loi de la variable aléatoire $\scriptstyle\ X\$ est portée (i.e. $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(X\in S\right)=1$ ) par un ensemble $\scriptstyle\ S\$ fini ou dénombrable, on parle de loi discrète. D'un point de vue pratique, les calculs de probabilités ou bien d'espérances liées à $\scriptstyle\ X\$ font alors intervenir des calculs de sommes finies ou de séries:

$\mathbb{P}\left(X\in A\right)=\sum_{x\in A\cap S}\ \mathbb{P}\left(X=x\right),\qquad\mathbb{E}\left[\phi(X)\right]=\sum_{x\in S}\ \phi(x)\mathbb{P}\left(X=x\right).$

Pour une variable discrète, on peut choisir comme ensemble $\scriptstyle\ S\$ l'ensemble des réels $\scriptstyle\ a\$ tels que $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(X=a\right)>0.\$

lorsque la loi de $\scriptstyle\ X\$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\ \scriptstyle\mathbb{R}\$ , ou bien, d'une manière équivalente, lorsque la fonction de répartition de $\scriptstyle\ X\$ est localement absolument continue, on parle de variable ou de loi absolument continue, ou bien de variable ou de loi à densité. Dans ce cas, en vertu du Théorème de Radon-Nikodym, la mesure $\scriptstyle\ \mathbb{P}_X\$ (et la variable $\scriptstyle\ X\$ ) possèdent une densité de probabilité (notons là $\scriptstyle\ f_X\$ ) par rapport à la mesure de Lebesgue. D'un point de vue pratique, les calculs de probabilités ou bien d'espérances liées à $\scriptstyle\ X\$ font alors intervenir des calculs d'intégrales:

$\mathbb{P}\left(X\in A\right)=\int_{A}\ f_X(x)\,dx,\qquad\mathbb{E}\left[\phi(X)\right]=\int_{\mathbb{R}}\ \phi(x)\ f_X(x)\,dx.$

Une variable à densité $\scriptstyle\ X\$ vérifie $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(X=a\right)=0\$ pour tout nombre réel $\scriptstyle\ a.\$ Toutefois, cette dernière propriété, qui oppose les variables à densité aux variables discrètes, n'est pas caractéristique des variables à densité.

Il existe d'autres types de variables aléatoires réelles :

la loi d'une variable aléatoire $\scriptstyle\ X\$ peut très bien n'être ni discrète ni absolument continue. Elle peut, par exemple, être un mélange des deux : si la loi de la durée de vie (avant panne) $\scriptstyle\ Y\$ d'un composant d'un certain type suit la loi exponentielle d'espérance 1 (an), et si par mesure de sécurité, on décide de remplacer chaque composant en cas de panne, mais aussi dès que le composant atteint l'age d'un an, même s'il n'est pas encore tombé en panne, alors la durée d'utilisation $\scriptstyle\ X\$ du composant ( $\scriptstyle\ X=1\wedge Y\$ ) n'est ni discrète ni absolument continue. En effet les calculs de probabilités ou bien d'espérances liées à $\scriptstyle\ X\$ font alors intervenir des calculs d'intégrales et de sommes :

$\mathbb{P}\left(X\in A\right)=e^{-1}1_A(1)+\int_{A}\ e^{-x}\,1_{[0,1]}(x)\,dx,\qquad\mathbb{E}\left[\phi(X)\right]=e^{-1}\phi(1)+\int_{0}^1\ \phi(x)\ e^{-x}\,dx.$

dans le cas précédent, la fonction de répartition de la durée d'utilisation $\scriptstyle\ X\$ est discontinue en 1. En général, la fonction de répartition de $\scriptstyle\ X\$ est discontinue en $\scriptstyle\ x\$ si et seulement si $\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(X=x\right)>0.\$ On voit que les variables à densité ont des fonctions de répartitions localement absolument continues, donc, a fortiori, continues sur $\scriptstyle\ \mathbb{R},\$ alors que les fonctions de répartition des variables discrètes et du mélange évoqué précédemment possèdent des discontinuités sur la droite réelle. Le tableau est encore compliqué par l'existence de variables aléatoires dont la fonction de répartition est continue sur $\scriptstyle\ \mathbb{R},\$ mais pas absolument continue, et qui ne sont donc pas à densité. C'est le cas, par exemple, de

$X\ =\ \sum_{n\ge 1}\ 2\,Y_n\,3^{-n},$

où les $\scriptstyle\ Y_n\$ désignent une suite de variables de Bernoulli indépendantes de paramètres 0,5. $\scriptstyle\ X\$ est un nombre dont on tire le développement triadique à pile ou face : à chaque pile on ajoute le chiffre 2, et à chaque face le chiffre 0, excluant ainsi le chiffre 1. La fonction de répartition de $\scriptstyle\ X\$ est l'escalier de Cantor. Une telle variable doit-elle être appelée continue (sa fonction de répartition l'est), ou pas (elle n'a pas de densité de probabilité) ? Le débat n'est pas très aigu, car ce type de variables apparait rarement dans les applications.

Histoire

L'allure générale des lois de probabilité usuelles fut au début observée empiriquement, puis on en formalisa la définition dans le cadre de la théorie des probabilités en mathématiques.

Maximum d'entropie

Les lois de probabilité usuelles sont souvent classées par familles dépendant d'un paramètre. La loi normale par exemple est paramétrée par sa moyenne et son écart type. La plupart des familles usuelles de lois de probabilités sont celles offrant le maximum d'entropie (l'entropie est une mesure de l'information moyenne d'une source, au sens de Claude Shannon, donc le plus d'information) sous contraintes :

La distribution normale par exemple est celle d'entropie maximale parmi toutes les lois possibles ayant même moyenne et même écart type.
La distribution exponentielle est celle d'entropie maximale parmi les lois portées par $\ \scriptstyle\mathbb{R}_+\$ et ayant la même moyenne.
Les lois scalantes comme celle de Zipf ou de Mandelbrot sont d'entropie maximale parmi celles auxquelles on impose la valeur du logarithme d'une moyenne, c'est-à-dire un ordre de grandeur.

En quelque sorte, ces lois ne contiennent pas plus d'information que ce qui est obligatoire. Ce sont les moins prévenues de toutes les lois compatibles avec les observations ou les contraintes, et donc les seules admissibles objectivement comme distributions de probabilités a priori lorsque ces valeurs sont imposées et seules connues. Cette propriété joue un grand rôle dans les méthodes bayésiennes.

Exemples de distribution

Voir aussi

Liens connexes

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