Loi logarithmique (probabilité)

Loi logarithmique (probabilité)
Logarithmique
Paramètres 0 < p < 1\!
Support k \in \{1,2,3,\dots\}\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!
Fonction de répartition 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!
Espérance \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!
Mode 1
Variance -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!
Fonction génératrice des moments \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!
Fonction caractéristique \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!
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En Probabilité et en Statistiques, la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor suivant:

-\ln(1-p) = p + \frac{p^2}{2} + \frac{p^3}{3} + \cdots.

pour 0 < p < 1. On peut en déduire l'identité qui suit:

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k} = 1.

On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log(p):

f(k;p) = P(X=k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k}

pour k \ge 1, et où 0 < p < 1.

La fonction de répartition associée est

F(k) = 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}

où Β est la fonction bêta incomplète.

Un mélange loi de Poisson- loi logarithmique possède une loi binomiale négative: si N est une variable aléatoire tirée selon une loi de Poisson et que Xi, i = 1, 2, 3, ... est une série infinie de variables identiquement et indépendamment distribuées selon une loi Log(p), alors

\sum_{n=1}^N X_i

est distribuée selon une loi binomiale négative.


Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations.

Références

  • Norman L. Johnson, Adrienne W. Kemp et Samuel Kotz, Univariate Discrete Distributions, Wiley-Interscience, ISBN: 0471272469, chapitre 7 (p. 285-304)
v · Lois de probabilités
Lois discrètes
à support fini Loi de Bernoulli • Loi uniforme discrète • Loi binomiale • Loi hypergéométrique • Loi de Benford
à support dénombrable Loi géométrique • Loi de Poisson • Loi binomiale négative • Loi logarithmique
Lois continues
à support compact Loi uniforme continue • Loi triangulaire • Loi bêta
à support semi-infini Loi exponentielle • Loi Gamma • Loi du χ² • Loi de Fisher • Loi de Weibull • Loi de Rayleigh • Loi de Rice • Loi d'Erlang • Loi de Lévy • Loi inverse-gamma • Loi log-normale
à support infini Loi normale • Loi normale asymétrique • Loi de Cauchy • Loi de Laplace • Loi logistique • Loi de Student • Loi stable • Loi de Gumbel
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